.1.13)
2.2.2 Квантова модель лінійного гармонічного осцилятора
Енергія вільних коливань лінійного гармонічного осцилятора постійна, тому відповідне рівняння Шредінгера можна записати за допомогою загальної формули для стаціонарних станів. З урахуванням виду функції U (x):
(2.2.2.1)
Хвильова функція повинна задовольняти стандартних умов - бути кінцевою, однозначною і безперервною. Умова кінцівки в даному випадку вимагає, щоб
? (x)? 0 при x? 0. (2.2.2.2)
Рішення рівняння має вигляд
(2.2.2.3)
де Hn ((mw / ћ)? x) так звані поліноми Ерміта (n=1,2,3, .. Якщо в?? Ести позначення? =(Mw / ћ)? X, то їх вигляд може бути знайдений порівняно просто за формулою
(2.2.2.4)
При цьому виявляється, що повинно виконуватися рівність:
=ћw (n +?) (2.2.2.5)
Ймовірність виявлення мікрочастинки в змозі з номером n пропорційна квадрату модуля хвильової функції
(x)=| y (x) n | 2dx, (2.2.2.6)
де | y (x) n | 2 грає роль щільності ймовірності rn (x)=| y (x) n | 2. Для конкретних значень n yn (x) обчислюється за формулою (2.2.2.3). Наприклад, для n=0.1 і 2 отримують:
(2.2.2.7)
.
2.2.3 Квантування енергії осцилятора
В результаті рішення рівняння Шредінгера для осцилятора було знайдено, що енергія осцилятора приймає значення з дискретного ряду: En=ћ? (n +?), тобто квантована. Особливістю енергетичного спектра в порівнянні з описом в класичній механіці є те, що енергії сусідніх енергетичних рівнів відрізняються на одну і ту ж величину:
? En=En +1- En=ћ?. (2.2.3.1)
Загальний принцип відповідності - кожна нова теорія має містити в собі стару як свій граничний випадок - виконується і тут, точно так само як і при розгляді завдання про частку в потенційній ямі. Справді, якщо знехтувати постійної Планка (або, як часто говорять, формально розглянути межа значення величини при ћ? 0), то енергія осцилятора E змінюється безперервно, так як? En? 0, що характерно для його поведінки в рамках класичної фізики. У своїй знаменитій роботі «Про будову атомів і молекул» Бор користувався принципом відповідності в іншому формулюванні: при великих значеннях квантових чисел квантовомеханічної опис має переходити в класичне. Виявляється, що при великих квантових числах зміна енергії при переході від одного квантового рівня до іншого мізерно мало в порівнянні з енергією самого рівня:
факторизація осцилятор пару енергія
? En / En=ћ? / ћ? (n +?)=1 / (n +?)? 0 при n? +?.
У цьому випадку можна вважати зміну енергії осцилятора безперервним, як у класичній фізиці.
Інша особливість спектра енергії осцилятора - неможливість звернення в нуль енергії. При n=0 виходить, так звана, «нульова енергія» E0=ћ? / 2, існування якої підтверджується експериментально. Як і в задачі про частку в потенційній ямі, цей факт пов'язаний з виконанням співвідношень невизначеностей Гейзенберга. Справді, якщо, як зазвичай надходять при таких оцінках, покласти? X ~ x ~ A,? Px ~ px ~ mA? і, відповідно до співвідношення невизначеностей,? x? px ~ О, то
. (2.2.3.2)
2.2.4 Поведінка хвильової функції осцилятора
Ймовірність виявлення осцилятора в точці з коо...
