остаточно отримують:
,. (2.1.12)
Значення синусів укладені в інтервалі (0,1), тому їх аргументи змінюються в області (0, p / 2). З отриманих рівнянь (2.1.12) випливає, що
(2.1.13)
Це трансцендентне рівняння можна вирішити графічно. Функція kL в лівій частині рівняння (11) зростає із збільшенням k, а що стоїть в правій частині
убуває.
Щоб це рівняння мало рішення необхідно, щоб ліва частина була більше, ніж права частина: у цьому випадку графіки цих функцій будуть перетинатися і дадуть шукане рішення. причому її конфігурацію найзручніше вибрати у вигляді, представленому на малюнку.
На наступному етапі розглядається рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора за схемою, описаною Бомом.
2.2 Лінійний гармонійний осцилятор
.2.1 Класична модель лінійного гармонічного осцилятора
У класичній механіці лінійним гармонійним осциллятором називають матеріальну точку маси m, що рухається під дією квазіпружної сили Fк=- kx. Така сила виникає при малих відхиленнях від положення рівноваги, вона визначається градієнтом потенційної енергії U (x)=kx2 / 2: F=- gradU (x)=- ikx (i - одиничний вектор, спрямований вздовж осі Ox). На рис. 4 зображена схема демонстраційного експерименту, що ілюструє особливості руху. У рамках цієї моделі можливий облік у поєднанні з квазіпружної дії та інших сил, як постійних, так і залежних від часу і швидкості. Рівняння руху матеріальної точки в даному випадку
(2.2.1.1)
зазвичай записується у вигляді:
, (2.2.1.2)
де? =(K / m)?- Кругова частота. Загальне рішення рівняння (2.2.1.2)
x=Asin (? t +? 0), (2.2.1.3)
являє собою гармонійне коливання з амплітудою А, круговою частотою? і початковою фазою? 0. Швидкість матеріальної точки, кінетична, потенційна і повна енергії осцилятора рівні відповідно:
v =? Acos (? 0t +? 0), (2.2.1.4) кін=mv2 / 2=p2/2m, (2.2.1.5)
U (x)=kx2 / 2=m? 2x2 / 2, (2.2.1.6) (p, x)=p2/2m + m? 2x2 / 2=m? 2A2 / 2. (2.2.1.7)
Рівняння Е (p, x)=const є рівнянням еліпса у фазовому просторі (рісунок.3):
, (2.2.1.8)
півосі якого рівні
. (2.2.1.9)
Малюнок 5 - Фазова траєкторії лінійного гармонічного осцилятора, відповідні постійним значенням енергії
Заштрихованная смуга - приріст площі еліпса при переході від фазової траєкторії E=const до фазової траєкторії, відповідної збільшенню енергії E на? E.
Обговорювана модель використовується для опису руху будь-яких систем при малих відхиленнях x від положення рівноваги х0. У цьому випадку функцію U (X0 + x) можна розкласти в ряд Тейлора за ступенями малої величини x:
(2.2.1.10)
Якщо покласти X0=0, вибрати початок відліку потенційної енергії від нуля, поклавши U (X0)=U (0)=0, і обмежитися членами другого порядку малості, то отримаємо
(2.2.1.11)
З умови мінімуму енергії в положенні рівноваги слід
. (2.2.1.12)
Таким чином, потенційна енергія будь-якої системи при малих відхиленнях від положення рівноваги в 1-му наближенні може бути описана функцією виду
. (2.2...
