рдинатою x? (X, x + dx). Інший результат розгляду квантової задачі для лінійного гармонічного осцилятора - виявлення імовірнісного характеру його поведнія: ймовірність його виявлення в будь-якому стані з заданим n в точці з координатою x пропорційна квадрату модуля хвильової функції.
dwn (x)=| y (x) | 2dx=rn (x) dx. (2.2.4.1)
Щільність ймовірності rn (x), наприклад, для n=0, 1 і 2, як випливає з (2.2.4.1) У деяких точках ймовірність виявлення лінійного гармонічного осцилятора дорівнює 0, а в деяких максимальна ( див. рис. 4.6 для n=10). Порівняємо поведінку? 10 (x) з поведінкою щільності ймовірності виявлення мікрочастинки в точці з координатою х в інтервалі (x, x + dx) при описі осцилятора в класичній фізиці. Останню можна знайти, обчисливши ймовірність знаходження мікрочастинки в інтервалі (x, x + dx). Ця ймовірність dwкл (x)=ркл10 (x) dx дорівнює часу dt проходження відрізка шляху dx=vdt (v=w Acos wt - швидкість (4.4)), поділеній на половину періоду коливань Т / 2:
(2.2.4.2)
Малюнок 6 - Хвильова функція для осцилятора n
На малюнку 6 представлені обидві криві для n=10: одна для щільності ймовірності rn (x), отриманої за допомогою хвильової функції інша, знайдена вище при обчисленні dwкл (x):
для щільності ймовірності, обчисленої на основі уявлень класичної механіки.
2.2.5 Рішення рівняння Шредінгера для осцилятора методом розкладання шуканої функції в ряд. Поліноми Ерміта
Попередньо з метою спрощення викладок проводять заміну змінної x=ax? x=x / a в рівнянні:
(2.2.5.1)
. (2.2.5.2)
? вибирають так, щоб коефіцієнт при? 2 був дорівнює одиниці: що дозволяє висловити? через постійні О, m і w
. (2.2.5.3)
Перший доданок у квадратних дужках позначають
. (2.2.5.4)
Таким чином, завдання зводиться до вирішення рівняння
(2.2.5.5)
за умови
якщо (2.2.5.6)
Відомо кілька способів вирішення отриманого рівняння. Розглянемо один з найбільш простих, коли спочатку аналізується поведінка хвильової функції при великих значеннях |? | >> ?, А потім при |? | << 1.? 2 >> ?.
Нехтуючи в рівнянні? в порівнянні з? 2, отримаємо:
. (2.2.5.7)
За аналогією з рішенням диференціального рівняння 2-го порядку з постійними коефіцієнтами спробуємо шукати рішення рівняння у вигляді
, (2.2.5.8)
де a - постійна.
Поява мінуса і? 2 в показнику експоненти пов'язано з тим, що при? ? ±? хвильова функція незалежно від знака? повинна прагнути до нуля. При підстановці в рівняння хвильової функції приходимо до рівності:
. (2.2.5.9)
Скорочуючи на експоненту exp (-a? 2) і, з урахуванням припущення, що? 2 >> a, нехтуючи в лівій частині доданком зі знаком мінус отримуємо a =? і
. (2.2.5.10)
У розглянутому наближенні? 2 >> ? функція визначає поведінку розв'язку рівняння при великих значеннях?.
) |? | << 1. Рівність диктує пошук функції? (?) У вигляді
, (2.2.5.11)
де H (?) може бути розкладена в ряд за ступенями?. Підставивши? (?) З (2.2.5.7) в рівняння (2.2.5.3), одержуємо диференціальне рів...
