gt; V
(так як L lt; 1 по умову, якій, як передбачається, задовольняю наші коефіцієнти результатів).
Тобто ми отримали, що при даному умови на Ki (L lt; 1) і запропонованому розподілі загальної суми ставки по исходам, ми при будь-якому результаті гри отримаємо прибуток, що потрібно було довести. Тобто умова 1/K1 + 1/K2 + ... + 1/KN lt; 1 є необхідною і достатньою для отримання прибутку незалежно від результату гри.
Якщо ми знаємо, що наші коефіцієнти задовольняють умові (2), тобто є вилковими, то ми легко зможемо розрахувати суми, які необхідно поставити на кожен результат, щоб бути в однаковому плюсі ??незалежно від того як завершиться подія:
Для двох вихідної події:
V1=V * K2/(K1 + K2)=V * K1/(K1 + K2)
Для трьох вихідної події:
V1=V * K2 * KX/(K1 * K2 + K1 * KX + K2 * KX)
V2=V * K1 * KX/(K1 * K2 + K1 * KX + K2 * KX)=V * K1 * K2/(K1 * K2 + K1 * KX + K2 * KX).
Глава III. Метод критерій Келлі
. 1 Суть методу критерій Келлі
Фундаментальною проблемою в іграх є пошук можливостей ставок з позитивним очікуванням. Аналогічна проблема в інвестуванні - пошук можливостей інвестування з надлишкової raquo ;, з урахуванням поправок на ризик, прибутковістю. Як тільки такі сприятливі можливості ідентифіковані, гравець або інвестор повинен вирішити, яку частину свого капіталу поставити на кін. Один з підходів полягає в тому, щоб оцінити гроші, використовуючи функцію корисності. Вона визначена для всіх невід'ємних дійсних чисел, має речові значення і є не спадною.
Деякі приклади:
U (x)=x ?, 0? ? lt; ? і U (x)=log x,
де log означає loge, а log 0=- ?. Як тільки функція корисності визначена, мета полягає в тому, щоб максимізувати очікувану величину корисності капіталу. Суть методу критерій Келлі полягає в знаходженні величини ставки для кожної спроби, такий що вона максимізувала E [log X], очікувану величину логарифма капіталу X. Функція корисності log x була знову використана Джоном Келлі в 1956 році, що показало, що вона має деякі чудові властивості. Якщо всі ставки мають позитивне очікування і незалежні, ставки Келлі, при грі на одну ставку будуть надзвичайно прості: ставте частку вашого поточного капіталу, рівну вашому очікуванню. На практиці ця оцінка дещо змінюється (як правило, знижується) для того, щоб допустити можливість чекають ставок raquo ;, мають деякий негативний очікування, при більш високих коливаннях, що виникають через виплати, більших, ніж один до одного, і коли граються більше однієї ставки одночасно. Критерій Келлі відомий так само економістам і теоретикам-фінансистам під такими іменами як стратегія максімізаціі геометричного середнього портфеля raquo ;, максимізація логарифмічною корисності, стратегія оптимального росту, критерій зростання капіталу.
. 2 Опис методу критерій Келлі і його властивості
У цій главі розглядаються властивості критерію Келлі. Для простоти, проілюструємо його на прикладі самого найпростішого випадку - підкидання монети, але концепція і висновки легко узагальнюються.
Припустимо, ми граємо з нескінченно багатим противником, який буде робити повторювані ставки на незалежні події - кидки монети. Далі, припустимо, що при кожному кидку наша ймовірність перемоги p gt; 1/2, а ймовірність втрати q=1 - p. Наш початковий капітал - XO. Припустимо, що наша мета - максимізація очікуваної величини E (Xn) через n спроб. Скільки ми поставимо, Bk, на k-й спробі? Нехай Tk=1, якщо k-я спроба - виграшна й Tk=- 1, якщо вона програна, тоді Xk=Xk - 1 + Tk Bk для k=1,2,3 .., і Xn=XO +? Nk= 1TkBk. Тоді
Так як гра має позитивне очікування, тобто p-q gt; 0, у цій ситуації рівних виплат, для того, щоб максимізувати Е (Хn), ми повинні були б максимізувати E (Bk) для кожної спроби. Таким чином, щоб максимізувати очікуване зростання ми повинні ставити всі наші ресурси в кожній спробі. Таким чином, B1=X0, і, якщо ми виграємо перші ставку, B2=2X0, і т.д. Однак, ймовірність краху при цьому буде 1 - pN і при p lt; 1, lim n ?? [1 -рn]=1, так що крах майже неминучий. Таким чином, сміливий критерій ставок для максимізації очікуваного зростання зазвичай небажаний.
Аналогічно, якщо наша стратегія полягає в тому, щоб мінімізувати ймовірність можливого краху (а крах відбувається, якщо XK=0 на k-й спробі), ми повинні робити мінімальну ставку на кожній спробі, але це, на жаль, також мінімізує та очікуване зростання. Таким чином, боязка система ставок також неприваблива. <...
