/p>
Це припускає існування проміжної стратегія, яка лежить десь між максимізацією E (Xn) (і вірним крахом) та зменшенням вірогідності краху (і зменшенням E (Хn)). Асимптотично оптимальна стратегія була вперше запропонована Джном Келлі в 1956 році.
Так як імовірності і виплати при кожній ставці в описаній грі з підкиданням монети однакові, здається цілком правдоподібно, що оптимальна стратегія зажадає завжди робити ставки на одну і ту ж частку f вашого капіталу. Щоб це було можливим зробити, ми припускаємо далі, що капітал може нескінченно дробитися.
Стратегія, в якій ставки робляться згідно Bi=f Xi - 1, де 0? f? 1, іноді називається стратегією фіксованої частки raquo ;. Нехай S і F - числа успіхів і програшів в n спробах відповідно, тоді наш капітал після n спроб дорівнює
=Xo (1+ f) S (1-f) F,
де S + F=n. При f в інтервалі 0 lt; f lt; 1, Рr (Хn=0)=0. Таким чином, краху raquo ;, понимаемом в технічному сенсі як розорення гравця, відбутися не може. Крах означатиме, що для довільно маленького позитивного? , Limn ?? [Рr (Xn??)]=1. У цьому сенсі, як ми побачимо, крах все-таки може трапитися за деяких обставин.
Відзначимо, що так як
Величина
вимірює експоненційну швидкість росту за спробу. Келлі максимізувати очікувану величину коефіцієнта швидкості росту, g (f),
Виходить, що g (f)=(1/n) E [logXn] - (1/n) logX0, тому, для фіксованого n, максимізація g (f) - те ж саме, що максимізація E [logXn]. Обчислимо похідну:
коли f=f *=p - q.
Так як
то g '(f) убуває строго монотонно на [0, 1],
так як g (0)=p-q gt; 0 і lim f? 1 - g (f)=-?. Внаслідок безперервності g '(f), g (f) має єдиний максимум в точці f=f *, де g (f *)=p log p + q log q + log 2 gt; 0. Більше того, оскільки g (0)=0 і lim f? 1 - g {f)=-?, То існує єдине fC gt; 0, таке що 0 lt; f * lt; fC lt; 1 і g (fC)=0.
Побудуємо графік функції g (f) від f (рисунок 3.1).
Малюнок 3.1. Графік функції g (f)
Виходячи з максимізації функції g (f), Джоном Келлі були сформульовані наступні властивості:
- Якщо g (f) gt; 0, тоді майже вірогідно, що limn ?? Хn =?, Тобто для кожного М, Pr [lim n ?? inf Хn gt; М]=1. Ця властивість показує що, якби не кінцевий час, добробут гравця XN перевищило би будь встановлену межу М, коли f вибрано в інтервалі (0, fс).
- Якщо g (f) lt; 0, тоді майже вірогідно, що limn ?? Хn=0, тобто для кожного? Gt; 0, Pr [lim n ?? sup Хn lt; ?]=1, виходить, що крах неминучий.
- Якщо g (f)=0, тоді майже вірогідно, що lim n ?? sup Хn =? і lim n ?? inf Хn=0. Це твердження демонструє, що, якщо g (f)=0, тоді майже вірогідно, що lim n ?? sup Хn =? і lim n ?? inf Хn=0.
- Для заданої стратегії Ф *, яка максимізує E [log Xn] і будь-який інший суттєво іншою стратегії Ф (не обов'язково стратегії фіксованих дрібних ставок) майже вірогідно, що limn ?? Хn (Ф *)/Хn (Ф) =?.
- Очікуваний час, необхідне щоб поточний капітал Xn досяг заздалегідь встановленого значення С буде, асимптотично, найменшим при стратегії, яка максимізує E [log Xn].
- Якщо припустити, що віддача від однієї ставки на i-й спробі - Біноміальна випадкова змінна Ui, далі припустимо, що ймовірність успіху pi, де 1/2 lt; pi lt; 1. Тоді E [log Xn] максимизируется вибором значенням для ставки при кожній спробі частки f * i=pi - qi яка максимізує E [log (1 + fiUi)]. Ця частина встановлює справедливість використання методу Kelly вибору fi * при кожній спробі (навіть якщо від однієї спроби до наступної змінюється ймовірність) для максимізації E [log Xn].
. 3 Приклад використання властивостей критерію Келлі raquo ;. Узагальнююча формула Келлі
Розберемо приклад:
Гравець А грає проти нескінченно багатого супротивника. Гравець виграє одну і ту ж суму при послідовних незалежних кидках монети з імовірністю p=0,53 (незалежні події). Гравець А має початковий капітал X0, і капітал може нескінченно ділитися. Якщо ми застосуємо шосте властивість, то отримуємо *=p - q=0,53 - 0,47=0,06, Таким чином, в кожній грі він повинен ставити 6% поточного капіталу, щоб Xn ріс з максимальною швидкістю і з нульовою ймовірністю краху. Якщо Гравець А постійно ставить меншу частку, ніж 6%, Xn також буде рости до безкінечності, але повільніше.
Якщо Гравець A постійно ставить долею більшою н...
