K1, KX.
Позначимо KF1 коефіцієнт на фору - 0.25. Тоді формула балансу виграшу-програшу буде:
* KF1 + PX/2=1
так як у випадку нічиєї ми отримуємо повернення половини ставки.
Звідси
KF1=(1-PX/2)/P1=(2 * KX - 1) * K1/(2 * KX)=K1 * (1-1/(2 * KX))
Аналогічно
KF2=(1-PX/2)/P2=(2 * KX - 1) * K2/(2 * KX=K2 * (1-1/(2 * KX))
Тепер позначимо KF1 коефіцієнт на фору +0.25. Тоді формула балансу виграшу-програшу буде:
* KF1 + PX * KF1/2 + PX/2=1
Звідси
KF1=(1-PX/2)/P1=(2 * KX - 1) * K1/(2 * KX)=K1 * (1-1/(2 * KX))
Аналогічно
KF2=(1-PX/2)/P2=(2 * KX - 1) * K2/(2 * KX=K2 * (1-1/(2 * KX))
Тепер позначимо KF1 коефіцієнт на фору +0.25. Тоді формула балансу виграшу-програшу буде:
* KF1 + PX * KF1/2 + PX/2=1
. 4 Умова арбітражної ситуації
Коли робиться ставка на подію, вона може програти, виграти, а також можливий варіант, коли ми нічого не програємо і не виграємо - тобто, маємо повернення (грошей). Кожна подія має свій коефіцієнт виграшу: Ki gt;=1, i=1, N. Якщо коефіцієнт Ki gt; 1, то при реалізації цього результату у нас буде чистий прибуток Vi * (Ki - 1), де Vi сума нашої ставки. Якщо Ki=1, то це випадок повернення грошей, такі коефіцієнти не присутні в лініях букмекерських контор (але маються на увазі для випадків не входять в умову ставки). Припустимо, ми ставимо на кожен результат гри суму Vi, i=1, N. Як буде зрозуміло з подальшого ходу аналізу, при наявності вилки ми будемо змушені робити ставки на всі події (результати гри) входять до нашого списку (який залежить від типу вилки). Оскільки, роблячи ставки, гравець хоче вигравати гроші, тобто, отримувати більше чим поставив, і хоче, щоб це було при будь-якому можливому результаті гри (в цьому полягає суть вилки ), то ми отримуємо систему нерівностей прибутковості raquo ;:
* Vi gt; V1 + V2 + ... VN=V, i=1, N (1)
Вона означає, що кожен (любой) можливий виграш по кожному результату гри (Ki * Vi) повинен покривати всі наші витрати на всі результати ставки, включаючи ті, які не зіграли, тобто загальні витрати, рівну V. Природно, що коефіцієнти, що задовольняють даним умовам не можна знайти в одній букмекерській конторі, таких контор повинно бути мінімум дві. Перепишемо ці нерівності як
* Di gt; 1,
де Di=Vi/V, частина повної суми проставлена ??на даний результат. Виникає питання як з цієї системи нерівностей визначити, чи дає даний набір коефіцієнтів можливість отримати нам прибуток хоча б при одному варіанті розподілу загальної суми ставки по можливим наслідків.
Так як всі Ki gt; 1 gt; 0, то систему нерівностей можна (розділивши на Ki) переписати як
gt; 1/Ki, i=1, N
Складаючи праві і ліві частини всіх цих нерівностей, отримуємо
+ D2 + ... + DN gt; 1/K1 + 1/K2 + ... + 1/KN
Але D1 + D2 + ... + DN=V1/V + V2/V + ... VN/V=??(V1 + V2 + ... VN)/V=??V/V=??1,
тому ми отримуємо умову, якій повинні задовольняти коефіцієнти подій (результатів гри):
/K1 + 1/K2 + ... + 1/KN lt; 1 (2)
Умова отримано без будь-яких припущень про спосіб розбиття загальної суми по исходам, а значить справедливо для всіх без винятку варіантів. Ця умова є необхідним для існування вилки raquo ;. Бо якщо вилка існує (задовольняються всі вихідні прибуткові нерівності), то в силу виведення коефіцієнти Ki, i=1, N задовольнятимуть останньому співвідношенню.
Потрібно перевірити чи є це умова достатнім для існування вилки. Для цього потрібно показати, що при виконанні даного співвідношення (2) завжди знайдуться такі Vi (розподіл загальної суми ставки по исходам), що при них будуть задоволені всі прибуткові співвідношення (1). Тобто можливо отримати прибуток незалежно від результату події. Для цього позначимо L=1/K1 + 1/K2 + ... + 1/KN і розіб'ємо всі суму ставки по исходам пропорційно 1/Ki, i=1, N.
Для цього покладемо Vi=(1/Ki * V)/L. Дійсно, складаючи всі Vi, ми отримуємо V, і, крім того, Vi розбиті пропорційно 1/Ki. Перевіримо, що при такому розподілі загальної суми ставок по исходам виконуються наші прибуткові (вилочні) співвідношення (2). Підставляючи Vi в кожне з співвідношень (1), отримуємо:
* Vi=(Ki * 1/Ki * V)/L=V/L ...
