інчення процесу в області досяжності G | t=t? на її кордон, а на кордоні обов'язково лежить x?- Рішення задачі оптимізації за швидкодією.
Розглянемо другу задачу оптимізації процесу управління рухом. Рух деякої системи описують диференціальним рівнянням
.
Рух управляється з безлічі допустимих управлінь. Дано положення системи на початку руху
.
Дан відрізок часу керованого руху [t ?, t?]. Дано положення системи, в яке її слід перевести до моменту часу t?- X ?. Але система з яких-небудь причин в точності не може досягти x ?, тобто x (t?)? X ?. Завдання полягає в тому, щоб вибрати таке управління, при якому система найкращим чином наближається до заданої мети, тобто буде досягнутий min || x (t?) - X? ||. Зміною системи відліку у фазовому просторі завжди можна зробити так, щоб x?=(X1 ?, ..., xn?) Т=(0, ..., 0) т=0.
Розглянемо задачу оптимального керування процесом нагрівання металу в камерній печі. Завдання - за відведений заданий проміжок часу T=t? -t? забезпечити найкращий нагрів: температура по тілу металевої заготовки повинна в результаті нагрівання максимально наблизитися до заданої за технологією температурі. Потужність нагрівальних пристроїв може в процесі нагріву регулюватися, однак вона обмежена.
Нехай теплова потужність печі W обмежена Wmax, тобто 0? W? Wmax. останнє в безрозмірному вигляді записується так:
,
де u=W/Wmax - управління.
Відповідно до закону збереження теплової енергії потужність буде витрачатися на нагрів металу, що знаходиться в печі, на теплові втрати в атмосферу цеху через стінки печі і на підвищення її температури. Це можна записати у вигляді
,
де с1, с2 і c3 - відомі розмірні коефіцієнти. Останнє рівняння в безрозмірному вигляді (якщо прийняти? /? С=x) таке:
,
де a0, a1, b1, f1 - відомі коефіцієнти.
Нагрівання металу описується диференціальним рівнянням теплопровідності. Якщо обмежитися випадком нагріву пластини, то рівняння має вигляд
.
Розділимо подумки пластину на шари. Якщо i - номер довільного вузла, то похідні в цьому вузлі можна апроксимувати у вигляді
;
.
Рівняння теплопровідності, будучи записаним з урахуванням цих формул для окремих вузлів з номерами i=1, 2, ..., n, n + 1, може бути представлено системою звичайних диференціальних рівнянь
математичний моделювання задача фізика
У систему формальним чином увійшли зайві невідомі? 0 і? n + 2. Виключимо їх з граничних умов. Так, через симетрії пластини ?? n + 1 /? Z=0, тоді з першої формули випливає:? N + 2 =? N. Тепловий потік в нагрівається метал відповідає граничним умовам третього роду
.
Маючи на увазі першу формулу, остання умова можна представити у вигляді
.
Наведемо систему до безрозмірного вигляду, поділивши її на відому? с=const. Якщо врахувати останню формулу і? N + 2 =? N, то вона запишеться у вигляді
Література
1.Василь С.Н, Матросов В.М., Москаленко О.І. Нелінійна теорія управління та її застосування.- М.: ФМЛ, 2008. - 320 с.
.Веніков В.А., Віників Г.В. Теорія подібності і моделювання.- М .: Вища школа, 1984.
.Вентцель Е.С. Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія - М .: Вища школа, 2 007.
.Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математичні методи та моделі для менеджменту. Підручник.- СПб .: Лань, 2007.
.Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципи побудови моделей.- М .: Фазис, 2007.
.Пеліх А.С., Терехов Л.Л.,. Терехова Л.А Економіко-математичні методи і моделі управління виробництвом.- Ростов-на-Дону. Фенікс. 2009
.Первозванскій А.А. Математичні моделі в управлінні виробництвом. 2 007.
.Самарскій А.А., Михайлов А.П. Математичне моделювання: Ідеї, методи, приклади.- М .: Физматлит, +2008.
.Таран Т.А. Логічні методи і моделі підтримки прийняття рішень у конфліктних ситуаціях. Переславль-Залеський. 2 007.
.Трояновскій В.М. Математичне моделювання в менеджменті. Навчальний посібник.- М .: Російська Ділова Література, 2007.
.Шебеко Ю.А. Імітаційне моделювання та ситуаційний аналіз бізнес-процесів прийняття управлінських рішень.- М .: Изд-во МАІ, +2007.
.Шікін Є.В., Чхартішвілі А.Г. Математичні методи і моделі в управлінні - М .: Справа +2009.
