ми будуть диференціюються функції, безперервні функції, кусково-неперервні функції.
Завдання початкових умов і вибір певного можливого управління u=u (t) визначають єдиним чином безперервний рух x=x (t), при цьому вектор x називають фазовим вектором; компоненти xi (i=1 ... n) називають фазовими координатами; лінію з параметричними рівняннями x1=x1 (t), ..., xn=xn (t), що представляє в фазовому пространства рух системи, називають фазовою траєкторією.
Фазовим простором називають сукупність всіх фазових векторів.
Досліджуємо приватний клас задач: управління системами, рух яких описується лінійними диференціальними рівняннями
,
де aik, bij - постійні величини або функції часу t, які безупинні і відомі.
Якщо ж малими літерами позначити матриці-стовпці, прописними - прямокутні матриці, то система приймає вигляд
.
Система лінійних диференціальних рівнянь має аналітичне рішення, обумовлене формулою Коші
,
де x (t) - фазовий вектор в довільний момент часу, що задовольняє початковому умові x (ta)=xa; X (t, ta), або X (t, t) - фундаментальна матриця, яку обчислюють таким чином.
На базі системи лінійних диференціальних неоднорідних рівнянь складають систему однорідних рівнянь
.
Вирішуючи її, виділяють n лінійно незалежних векторів-рішень. Вважаючи, що кожен з лінійно незалежних векторів z (k) (t) є рішеннями цієї системи, є вектор стовпець, складають матрицю
.
Фундаментальну матрицю описують формулою
.
Розглянемо найпростішу задачу про швидкодію, що має велике практичне значення.
Дана деяка система (механічна, електромеханічна і т.п.), рух якої описується лінійним диференціальним рівнянням
.
Дано безліч допустимих управлінь? u, якими володіє система. Дано положення системи на початку руху
,
але момент закінчення руху t=t? невідомий. Завдання полягає в тому, щоб вибрати з безлічі допустимих управлінь? U таке u0=u0 (t), при якому система в кротчайшее час T0=min (t? -t?) Перейшла б зі стану в стан.
Для вирішення сформульованої задачі звернемося до поняття області досяжності G. Нехай в деякий фіксований момент часу t * lt; t? процес ще не завершився, система не досягла заданого стану, точка x? фазового простору лежить ще поза області досяжності. Якщо слідувати природному ходу часу, то область досяжності буде зміщуватися по фазового простору і змінювати свою форму. У деякий момент часу t=t? настане таке положення, що область досяжності торкнеться заданої точки x ?. Момент торкання областю досяжності точки x? дасть шукане найменший час T0=min (t? -t?) переходу системи з положення x? в положення x ?. Слід зауважити, що торкання областю досяжності заданої точки x? може настати ще раз - у момент покидання областю досяжності точки x ?. Виникаюча при цьому неоднозначність рішення легко усувається вибором меншого відрізка T=t? -t ?, Який буде вирішенням завдання.
Розглянемо область досяжності в фіксований, але поки не відомий момент часу t=t ?. Позначимо через x (t?) Значення фазового вектора в області досяжності, підраховане за формулою Коші в момент часу t=t? для деякого допустимого управління u. Безліч значень фазового вектора на кордоні області досяжності позначимо. У кожну точку кордону система приходить за допомогою свого управління. З безлічі точок треба вибрати ту (і відповідне їй управління), для якої=x ?. Управління, що забезпечує потрапляння системи в цю точку, буде шуканим оптимальним керуванням u0=u0 (t).
Малюнок 3
Візьмемо довільний вектор l одиничної довжини перпендикулярний кордоні області досяжності. З малюнка видно, що якщо перебрати всі точки x (t?), Що належать області досяжності в момент часу t? то проекції їх фазових векторів на напрям вектора l не перевищуватимуть довжину відрізка ОА. Відрізок ОА буде відповідати умові
.
З цієї умови, яке є принципом максимуму, можна знайти точки, що лежать на кордоні області досяжності. Якщо перебрати всі l, то отримаємо за допомогою принципу максимуму все граничні точки області досяжності.
З урахуванням формули Коші умова максимуму можна написати у вигляді
Так як вектор l заданий, а перший доданок у формулі Коші постійно, то максимізацію здійснюють лише по другому доданку скалярного твори, причому змінним для нього вже буде управління. Отже отримуємо принцип максимуму, який полягає в наступному: оптимальне управління uo=uo (t) на відрізку часу [ta, t?] В будь-який момент часу t? [Ta, t?] Визначається з умови
,
де u - значення функції u (t) у фіксований момент t? [ta, t?].
Принцип максимуму є необхідною умовою оптимальності, оскільки він «виводить» точку зак...
