вітельних чисел виконуються всі звичайні властивості складання, множення і порядку. Аксіома Архімеда, проте, в цьому полі не виконується. p> Не знаю, як назвати p> А тепер подивимося, як поводяться розширення операторів.
Теорема 1:
Доказ:
Нехай. Це внутрішнє безліч. Внутрішньо числове безліч має супремум. Нехай. Якщо М - кінцевий, то А - обмежений. Якщо М - нескінченний, то такий, що, але, тобто - нескінченна. Розглянемо, але, з іншого боку,. Отримали протиріччя, якщо припустити, що норма нескінченна. Значить оператор А обмежено.
Доведено.
Теорема 2:
Доказ:
Нехай є оператори А і А1 такі, що
.
Скористаємося теоремою:
Якщо оператор і звернемо, а так само є оператор У такій, що , То А1 - звернемо, причому.
Оскільки дані оператори нескінченно близькі, то норма їх різниці є число нескінченно мале. А норма оператора А - конечна, а нескінченно мале число, природно, менше числа, зворотного кінцевого, що гарантує виконання нерівності. Тому оператор У теж звернемо. Оцінимо норму, скористаємося другим нерівністю: - кінцева,, від сюди, то. Так як ми зрозуміли, що оператор А1 звернемо, то це нерівність можна записати по-іншому:
, від куди отримаємо. Маємо одночасне виконання двох нерівностей: і, тобто, звідки. Що й потрібно було довести.
Доведено.
Визначення резольвенти в цьому полі таке ж, як і в стандартному. Але є деяка розбіжність у визначенні спектру і власного вектора.
Спектром лінійного оператора в називається безліч:
.
Тут користуються визначенням не власного вектора, а майже власного вектора:
Коли оператор існує, але цей оператор не обмежений, і рівняння має ненульове рішення, тоді вектор х ми будемо називати майже власним вектором. А число є елементом безперервного спектру. Вище ми розглядали приклад лінійного оператора, що відображає простір безперервних функцій на відрізку [a, b] на себе: оператор множення на функцію g (x). Візьмемо як функції, тоді резолвента цього оператора запишеться в наступному вигляді, тоді безперервним спектром буде сам відрізок.
Розглянемо функції виду (Мал. 1):
table>
Рис.1
