мо і, отже,. Так як було довільне позитивне дійсне число, то.
Нехай, як тільки й. Тоді для будь-якого отримуємо, обираючи як довільне позитивне нескінченне мале,
Використовуючи принцип перенесення, отримуємо стандартне опис рівномірної безперервності.
Доведено.
Розглянемо доказ 1ої теореми Вейерштраса В«нестандартними засобамиВ»: функція, безперервна на відрізку, є на ньому обмеженою.
Доказ:
Оскільки функція f неперервна, то, тобто, то, значить, являє собою кінцеве число, при цьому відрізок має таку властивість: у його розширенні будь-яка точка буде нескінченно близькою до деякій точці самого відрізка. Звідси всі значення функції на розширенні відрізка кінцеві, що означає, що функція обмежена.
Це не вірно для інтервалу, тому що в існують точки, де, які нескінченно близькі до точки а, яка не входить в інтервал.
Доведено.
Що ж таке гіпердействітельное число? p> Гіпердействітельние числа можна розглядати як класи послідовностей звичайних дійсних чисел. Розглянемо спосіб побудови класів. Його визначення буде використовувати так званий нетривіальний ультрафільтр на безлічі натуральних чисел. Пояснимо, що це таке.
Нехай деякі множини натуральних чисел називаються "великими", а деякі - "малими", причому виконані наступні властивості:
Будь-яке безліч натуральних чисел є або великим, або малим. Жодне безліч не є великим і малим одночасно.
Доповнення (до N) будь-якого малого множини є великим, доповнення будь-якого великого безлічі - малим.
Будь-яка підмножина малого безлічі є малим, будь надмножество великого - великим.
Об'єднання двох малих множин є малим, перетин дух великих множин - великим.
яке кінцеве безліч є малим, всяке безліч, що має кінцеве доповнення - великим.
За допомогою такого ультрафільтрів побудуємо шукане неархимедовой розширення поля дійсних чисел.
Будемо говорити, що послідовності еквівалентні, якщо рівність "виконано майже при всіх i", тобто Якщо безліч тих i, при яких, велике. Відповідно до властивості 5 будь-які послідовності, що відрізняються в кінцевому числі членів, еквівалентні. З кожною послідовністю зіставимо її клас еквівалентності - клас всіх еквівалентних їй послідовностей. Отримувані класи еквівалентності будуть називатися гіпердействітельнимі числами. Звичайні дійсні числа вкладаються в безліч гіпердействітельних чисел. Таким чином, * R виявляється, як ми того і хотіли, розширенням безлічі R.
Визначимо додавання і множення на гіпердействітельних числах. Нехай клас містить послідовність, клас - послідовність. Назвемо сумою класів і клас, що містить послідовність, а твором послідовність. Коректність цих визначень забезпечується властивістю 4 з визначення ультрафільтрів. p> Отже, ми ввели на безлічі гіпердействітельних чисел додавання, множення і порядок. Неважко перевірити, що ми отримали упорядковане поле, тобто що в безлічі гіпердейст...
