РЕФЕРАТ
"Власні вектора і власні значення лінійного оператора "
Поняття власні вектори і власні значення
Перед тим як визначити поняття власні вектора, покажемо його на наочному прикладі. На малюнку 1, червоним кольором позначений власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації НЕ змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню О» = 1. Будь вектор, паралельний червоному вектору, також буде власним, відповідним тому ж власному значенню. Безліч всіх таких векторів (разом з нульовим) утворює власне підпростір.
В
Рис. 1
Визначення. Ненульовий вектор x називається власним вектором лінійного оператора, якщо знайдеться таке число О», зване власним значенням лінійного оператора, що
В
(x) = О» В· x (1)
Рівність (1) означає, що вектор x, підданий дії лінійного оператора, множиться на число О». З'являється колінеарний вектор. Серед векторів лінійного векторного простору можуть існувати такі, вплив оператора на які переводить ці вектори в колінеарні самим собі. Якщо на таких векторах побудувати базис, перетворення лінійної алгебри значно спростяться.
Не всякий лінійний оператор володіє власними векторами. Наприклад, в геометричній площині R 2 оператор повороту на кут, що не кратний ПЂ, не має жодного власного вектора, оскільки жоден ненульовий вектор після повороту не залишиться колінеарним самому собі.
Вирішимо задачу знаходження власних векторів оператора. Запишемо рівність (1) у матричній формі:
В
P В· X = О» В· X
Перетворимо матричне рівняння:
В
P В· X - О» В· X = 0 або (P - О» В· E) X = 0
Матричне рівняння завжди має нульове рішення:
X = 0 =
Для існування ненульових рішень ранг матриці коефіцієнтів повинен бути менше числа змінних r В
| P - О» В· E | = 0 (2)
Розписавши рівняння (2) щодо О» детальніше, отримаємо
| P - О» В· E | =
Розкривши визначник, отримаємо рівняння n-й ступеня відносно О»:
Яке називається характеристичним рівнянням оператора. Корені рівняння називаються характеристичними або власними числами оператора. Безліч всіх власних чисел оператора називається спектром цього оператора. Многочлен лівій частині рівняння називається характеристичним многочленом.
Вирішивши характеристичне рівняння, отримуємо власні числа О» 1 , О» 2 , ..., О» n . Для кожного знайденого власного значення О» i знайдемо ненульові вектори ядра оператора P - О» i E . Саме вони будуть власними векторами, відповідними власному значенню О» i . Іншими словами, необхідно вирішити однорідну систему рівнянь (P - О» i E ) X = 0. Її спільне рішення дає всю сукупність власних векторів, що відповідають О» i .
Загальне рішення однорідної системи, як відомо, структуроване. Воно являє собою лінійну комбінацію фундаментального набору лінійно незалежних рішень (векторів). Число лінійно незалежних векторів у фундаментальному наборі називається геометричній кратністю власного значення О» i . Вводитися також алгебраїчна кратність - кратність О» i як кореня характеристичного многочлена.
Незалежність власних векторів
Існування лінійно незалежних векторів серед власних, що відповідають різним власним числам О» 1 , О» 2 , ..., О» n , визначається наступною теоремою.
Власні вектори x 1 , x 2 , ... , x n оператора, що відповідають різним власним значенням О» 1 , О» 2 , ..., О» n , лінійно незалежні.
На n лінійно незалежних власних векторах можна побудувати базис n-мірного лінійного векторного простору.
Зауваження. Визначник матриці P - О» E (відповідно характеристичний многочлен) не залежить від вибору базису.
| P '- О» E | = | T -1 PT - О» E | = | T -1 PT- О» T -1
