2.2 Хід світлового променя у краплі дощу Нехай на дощову краплю радіусом R падає пучок паралельних світлових променів. Назвемо прицільним параметром промінь ставлення Q / R, де Q - відстань від даного променя до паралельної йому прямої, що проходить через центр краплі. Будемо спочатку думати, що всі світлові промені мають одну і ту ж довжину хвилі, тобто будемо розглядати заломлення і віддзеркалення світла в краплі без урахування його дисперсії. Краплина має форму кулі. Сферична симетрія краплі призводить до того, що всі промені з однаковим прицільним параметром (ці промені показані на (рис. 2.2.)) Будуть описувати всередині краплі аналогічні траєкторії і виходитимуть з краплі під одним і тим же кутом до початкового напрямку. Траєкторія кожного променя лежить в площині, що проходить через вихідне положення даного променя і паралельну йому пряму, проведену через центр краплі. Тому будемо розглядати двовимірну задачу, зображуючи хід світлових променів у згаданій площині.
На (рис. 2.3) показаний хід променя, що має прицільний параметр Q / R. Легко бачити, що Q / R= sin, де a - кут падіння променя на поверхню краплі. Так як трикутники АОВ і ВОС рівнобедрені, то ОАВ= АВО і Кут падіння дорівнює куту відбиття, тому ABO= OBС . Позначимо всі ці кути через. Картина ходу променя симетрична відносно прямої . У точках А і С світловий промінь, заломлюючись, повертається на кут (у кожній з цих точок). У точці В світловий промінь повертається на кут 180 °. Таким чином, що виходить з краплі промінь СС 1 виявляється поверненим щодо вихідного напрямки на кут Це є кут 180 Звідси випливає, що. Висловимо кут через прицільний параметр променя, падаючого на краплю. Закон заломлення в точці А має вигляд: , де п - показник заломлення води. Використовуючи, отримуємо або, інакше,. Отже,, а з урахуванням того, що (2.1).
Завдання 2.2. При яких значеннях прицільного параметра світловий промінь вийде з краплі строго назад?
Рішення: Отже, потрібно знайти значення параметра, при яких Вважаючи в (2.1)
отримуємо 2 arcsin або, інакше,
Враховуючи, що sin 2=2 sin, знаходимо звідси. Це рівняння має два кореня. Перший корінь очевидний:; другий корінь є. Підставляючи в це вираження п=4/3, отримуємо=0,994. Зауважимо, що зазвичай використовується для води значення показника заломлення 4/3 відповідає променям, що потрапляють в жовту частину спектру.
З розглянутої вище задачі випливає, що в міру збільшення прицільних параметрів променів від нуля до одиниці кут зростає від нуля до деякого максимального значення, а потім зменшується, знову звертаючись в нуль при=0,994 (для жовтих променів). Важливо знайти максимальне значення кута .
Завдання 2.3. Знайти максимальне значення кута між падаючим на краплю і які виходять з неї променями. При якому прицільному параметрі реалізується цей кут? Показник заломлення прийняти рівним 4/3.
Рішення: Отже, треба знайти максимум функції, яка визначається виразом (2.1). Для цього функцію диференціюємо і потім прирівнюємо похідну нулю. Похідна функція, є. Дорівнявши її нулю, одержимо рівняння:. Вирішуючи це рівняння, знаходимо значення, при якому функція приймає максимальне значення. Знаходимо, що ...
