го з крайових умов (19.8) знайдемо
. (19.11)
З (19.10) і (19.11) випливає, що
;
. (19.12)
При знаходженні функцій і будемо використовувати теорему розкладання Хевісайда, для чого необхідно знайти полюси зображень (19.12). Нулі гіперболічного синуса визначаються з рівняння, звідки і, Отже, нулі функції - це числа, розташовані в лівій півплощині. Тому, якщо - обмежена функція, то, як слід з (19.12), напруга і струм в сталому режимі відповідно
В
В
де - чисто уявні полюси функції з позитивними уявними частинами.
Зокрема, якщо, то, і отже, в сталому режимі
;
.
Приклади для самостійного вирішення
Завдання 1 . Розкласти в ряд Фур'є функції, задані на інтервалі [-p, p]:
1. 2. p> 3 .. 4 ..
5. 6. p> 7. 8. p> 9. p> 10.
11. 12. p> 13. 14. p> 15. 16. p> 17. 18. p> 19. 20. p> 21. p> 22. p> 23. p> 24. p> 25. 26. p> 27. 28. p> 29. 30. p> 31. p> Завдання 2 . Розкласти в ряд Фур'є функції, задані на інтервалі:
1. 2. p> 3. 4. p> 5. 6. p> 7. 8. p> 9. p> 10. p> 11. p> 12. p> 13. 14. p> 15. 16. p> 17. 18. p> 19. 20. p> 21. 22. p> 23. 24. p> 25. 26. p> 27. 28. p> 29 30. = u>
Вказівка ​​. Для вирішення прикладу 15 скористатися формулами [6]
В
В
Завдання 3 . Уявити інтегралом Фур'є наступні функції:
1. 2. p> 3. 4. p> 5. 6. p> 7. 8. p> 9. 10. p> 11. 12. p> 13 .. 14 .. 15 ..
16 .. 17 .. 18 ..
Вказівка ​​. При вирішенні слід скористатися формулами
;
;
;
;
;
.
Завдання 4 . Знайти косинус-перетворення Фур'є наступних функцій:
1. 2 .. 3 ..
4 .. 5 ..
Завдання 5 . Знайти синус-перетворення Фур'є наступних функцій:
1. 2. p> 3. 4 ..
5. . 6. . 7. . b>
Відповіді
Завдання 1
1. . 2. . p> 3. . 4. . p> 5. . 6. . p> 7. . p> 8. . p> 9. . p> 10. . p> 11. . p> 12. . p> 13. . 14. . p> 15. . 16. . p> 17. . 18. . p> 19. . p> 20. . p> 21. . p> 22. . p> 23. . p> 24. . 25. . p> 26 ..
27. . p> 28. . p> 29. . p> 30. . p> 31. . br/>
Завдання 2
.
2. . p> 3. . p> 4. . p> 5. . 6. . 7. . p> 8. p>.
9. . p> 10. . 11. . p> 12. . p> 13. . p> 14. . p> 15. . p> 16. . 17. p> 18. . 19. . p> 20. . p> 21. . p> 22. . 23. . p> 24. . 25. . p> 26. . p> 27. . p> 28. . p> 29. . p> 30. . p> Завдання 3
1. . p> 2. . p> 3. . p> 4. . p> 5. . p> 6. . 7. . p> 8. . 9. . 10. . p> 11. . 12. . 13. . p> 14. . 15. . 16. . p> 17. . 18. . p> Завдання 4
1. . 2. . p> 3. . 4. . 5. . br/>
Завдання 5
1. . 2. . p> 3. . 4. . p> 5. . 6 .. 7 ..
Рекомендаційний бібліографічний список
Основний:
1. Демидович Б.П . Збірник завдань і вправ з математичного аналізу. М.: Наука, 1972. p> 2. Піскунов М.С . Диференціальне та інтегральне числення. Частина II. М.: Наука, 1985. p> 3. Шипачьов В.С . Вища математика. М.: Вища школа, 1998. br/>
Додатковий:
4. Данко П.В . Вища математика у вправах і завданнях/П.В.Данко, А.Г.Попов, Г.Н.Кожевнікова. М.: Вища школа, 1997. т.2.
5. Мінорскій В.П . Збірник завдань з вищої математики. М.: Наука, 1987. p> 6. Прудніков А.П. Інтеграли і ряди/А.П. Прудніков, Ю.А. Брички, О.І. Маричев. М.: Наука, 1981. br/>
Зміст
Введення
Глава 1. Ряди Фур'є
В§ 1. Векторні простору
В§ 2. Скалярний твір і норма функцій
В§ 3. Ортогональні системи функцій. Коефіцієнти Фур'є. Ряд Фур'є
В§ 4. Збіжність в середньому. Рівності Парсеваля
В§ 5. Тригонометричний ряд Фур'є на проміжку [- L , L ]
В§ 6. Збіжність тригонометричного ряду Фур'є. Теорема Діріхле
В§ 7. Розкладання в тригонометричні ряди парних і непарних функцій
В§ 8. Ряд Фур'є для функції, заданої на проміжку [0, L ]
В§ 9. Ряди Фур'є для комплексних функцій
В§ 10. Комплексна форма тригонометричного ряду Фур'є
Глава 2. Інтеграл Фур'є
В§ 11. Збіжність інтеграла Фур'є
В§ 12. Перетворення Фур'є
В§ 13. Основні відомості з теорії перетворення Фур'є
Глава 3. Операційне числення
В§ 14. Пе...
