Контрольна робота з вищої математики
1. Ситуаційна (практична) завдання № 1
Написати три перших члена степеневого ряду за заданим загальним члену, знайти інтервал збіжності ряду і дослідити його збіжність на кінцях цього інтервалу.
Рішення.
Підставивши послідовно, запишемо даний ряд у вигляді:
В
Так як серед коефіцієнтів ряду немає коефіцієнтів рівних нулю, знаходимо радіус збіжності ряду за формулою:
,
де
,
,
.
Отже, ряд сходиться при:
В
Досліджуємо збіжність ряду на кінцях отриманого інтервалу.
При даний ряд приймає вигляд:
В
Порівняємо ряд з гармонійним поруч.
Застосуємо другий ознака порівняння:
В
Так як отриманий межа кінцевий і не дорівнює нулю, а гармонійний ряд розходиться, то ряд також розходиться по другому ознакою порівняння позитивних рядів.
При даний ряд приймає вигляд:
.
Останній ряд є Знакозмінні поруч.
За ознакою Лейбніца знакозмінний ряд сходиться, якщо виконуються дві умови:
. p>. br/>
,
тобто <В
Виконуються дві умови збіжності Знакозмінні ряду, тобто за ознакою Лейбніца ряд сходиться.
Але знакозмінний ряд сходиться умовно, так як розходиться ряд, складений з абсолютних величин цього ряду.
Відповідь. Область збіжності даного ряду
2. Ситуаційна (практична) задача № 2
Знайти рішення диференціального рівняння і приватне рішення, що задовольняє початковій умові
Рішення.
Дано диференціальне рівняння 1 порядку. Вирішуємо його за методом Бернуллі. p> Замінимо функцію твором двох невідомих функцій і, покладемо.
Тоді:
В
Підстановка і в рівняння дає
.
Перетворимо це рівняння:
В
Покладемо, і тоді:
при будь-якому значенні. br/>
З рівняння знаходимо:
В В
При знайденому значенні лінійне рівняння приймає вигляд:. Підставляємо значення в рівняння, отримаємо
В В
Знаючи, що і, знаходимо:
В
Перевірка.
,
Підставимо значення і у задане рівняння
В В
Отримали тотожність, отже, знайдене рішення рівняння правильно.
Знаходимо приватне рішення при.
В
- приватне рішення при
Відповідь: - спільне рішення рівняння.
- приватне рішення при
3. Тестові завдання
ряд збіжність Лейбніц диференційний рівняння інтеграл
1. Застосовуючи таблицю і...
