що. Тоді:
; ;
Система рівнянь розвязків немає.
Отже, вектор НЕ є лінійною комбінацією векторів.
Приклад 3. Дано Векторний простір
; де
Чі є система лінійно залежних?
розвязання
Нехай тоді. При знайдення Рівність є правильною, тому система є лінійно залежних на Основі зазначило.
Приклад 4. Дано Векторний простір Чі є система лінійно залежних?
розвязання
Розглянемо Рівність
Ця Рівність винна буті правильною.
Если, то.
. Нехай, тоді.
Если то.
Отже, Функції лінійно незалежні.
Приклад 5. Знайте вімірність векторного простору.
Розв язання
Покажемо, что
де - базис простору.
) - лінійно незалежна система, бо Рівність тоб Рівність правильна позбав при
) Будь-який вектор є лінійною комбінацією векторів з, бо
Отже, - базис простору
Приклад 6. Довести, що - базис векторного простору, де,,. Знайте координати вектора в цьом базісі.
Розв язання
Перевірімо, чі система векторів є лінійно Незалежності:
;
Лише при знайдення Рівність є правильною, тому система є лінійно Незалежності на Основі зазначило.
Оскількі, то - базис векторного простору.
Знайдемо координати вектора в цьом базісі.
Отже, - шукані координати вектора в базісі.
2.7 Матріці
1. Поняття матріці. Віді матриць
Нехай - деякі елєменти числового поля Р, де,. ТаблиЦю увазі
назівають прямокутна матрицею розміру (- Кількість рядків, - кількість стовпців); числа назівають елементами матріці. Позначають скорочено:,,.
Матріці и назівають рівнімі, ЯКЩО Рівні їхні відповідні елєменти.
матрицю, ВСІ елєменти Якої дорівнюють нулю назівають Нульовий матрицею або-матрицею.
матрицю, в якій Кількість рядків дорівнює кількості стовпців, назівають квадратну.
- квадратна матриця порядку. Кажуть, что елєменти утворюють головну діагональ, а елементи - побічну діагональ квадратної матріці. Квадратна матриця, в якій ВСІ елєменти, крім, Можливо, ЕЛЕМЕНТІВ головної діагоналі дорівнюють нулю, назівають діагональною.
- діагональна матриця.
Діагональну матрицю, в якій ВСІ елєменти головної діагоналі дорівнюють один одному, назівають Скалярним.
- скалярна матриця.
Діагональну матрицю, в якій ВСІ елєменти головної діагоналі дорівнюють одініці, назівають одінічною (позначають:).
Для матріці матрицю
назівають транспонованою. Если
, то.
2. Векторний простір прямокутна матриць
Нехай - множини прямокутна матриць розміру, елєменти якіх належати Деяк числовому полю Р. І нехай, - довільні матріці з цієї множини.
Означення. Сумою матриць и назівають таку матрицю, что
де,.
Означення. Добутком числа и матріці назівають таку матрицю
, что
де,.
Теорема. Множини Із визначеними на ній операціямі додавання матриць и множення матріці на число є векторна простором над поле...
