ад полем
І, де, то
Теорема (основна теорема про Дві системи векторів). Если
и
- Дві системи векторів векторного простору, для якіх віконуються умови:
1);
2) система - лінійно незалежна,
то
8. Еквівалентні системи векторів. Ранг системи векторів
Означення. Системи векторів
, (1)
(2)
назівають еквівалентнімі, ЯКЩО Кожний вектор системи (1) є лінійною комбінацією векторів системи (2), и навпаки: шкірний вектор системи (2) є лінійною комбінацією векторів системи (1).
Теорема 1. Если Дві системи векторів еквівалентні и Кожна з них є лінійно Незалежності, то ЦІ системи складаються з однакової кількості векторів.
Означення. Максимально лінійно Незалежності підсістемою системи векторів назівають будь-яку лінійно незалежна Підсистема системи, яка еквівалентна всій Системі.
Теорема 2. Будь-які Дві максімальні лінійно незалежні підсістемі системи векторів складаються з однакової кількості векторів.
Означення. Рангом системи векторів назівають кількість векторів ее максімальної лінійно незалежної підсістемі. Позначають.
Ранг системи векторів дорівнює найбільшій кількості лінійно незалежних векторів системи.
9. Базис и вімірність векторного простору
Означення. Нехай - векторна простір над полем. Упорядковану систему векторів назівають базисом цього простору, ЯКЩО:
) система є лінійно Незалежності;
) будь-який вектор простору є лінійною комбінацією векторів системи.
Означення. Векторний простір, Який має базис, что Складається Зі скінченої кількості векторів, назівають скінчено вімірнім.
Означення. Если у векторному просторі існує базис, Який Складається з векторів, то назівають-вімірнім векторна простором и позначають.
Теорема. Если Векторний простір має базис, что Складається з векторів, то будь-який Інший базис цього простору Складається з векторів.
10. Теореми про базис
Теорема 1. У векторному просторі довільна упорядкована система з лінійно незалежних векторів утворює базис.
Наслідок. В-вимірному векторному просторі будь-яка система з вектора є лінійно залежних.
Теорема 2. Если у векторному просторі задана лінійно незалежна система векторів, де, то Цю систему можна доповніті до базису простору.
11. Координати вектора
Теорема. Если - базис векторного простору над полем, то будь-який вектор цього простору можна Єдиним способом податі у вігляді лінійної комбінації векторів базису.
Означення. Если - базис векторного простору І, то числа назівають координатами вектора в базісі.
При додаванні векторів координати додаються, а при множенні числа на вектор - шкірно координату множащимся на це число.
Приклади розв язання типових задач
Приклад 1. Довести, що - Векторний простір, ЯКЩО
Доведення
), де
)
Отже, є підпростором векторного простору, звідсі віпліває, что - векторна простір.
Приклад 2. Дано Векторний простір І, де.
Чі є вектор лінійною комбінацією векторів?
розвязання
Припустиме, ...
