ому загальна сума записаних чисел залишиться парному. Отже , Ця сума дорівнює 1 бути не може. p> п о в е т: не може.
2.2. На дошці написані 8 плюсів і 11 мінусів. Дозволяється стерти будь-які два знаки і написати замість них плюс, якщо вони однакові, і мінус якщо вони різні. Який знак залишиться на дошці після 18 таких операцій?
2.3. На головній діагоналі шашкової дошки 10 на 10 коштують 10 шашок, всі в різних клітинах. За один хід дозволяється вибрати будь-яку пару шашок і пересунути кожну з них на одну клітку вниз. Чи можна за кілька таких ходів поставити всі шашки на нижню горизонталь?
2.4. На столі стоять догори дном 7 склянок. Дозволяється за один раз перевернути будь-які 4 склянки. Чи можна через кілька кроків поставити всі склянки в нормальне положення?
Рішення.
Поставимо в Відповідно склянці, що стоїть нормально, +1, а що стоїть догори дном, - 1. Інваріантом тут буде добуток чисел, відповідних всім 7 склянках, так як при зміні знака у 4 співмножників добуток не змінюється. Але в початковому положенні цей твір дорівнює -1, а значить, стати +1 воно ніколи не зможе.
2.5. На столі стоять 7 перевернутих склянок. Дозволяється одночасно перевертати будь-які два склянки. Чи можна добитися того, щоб всі склянки стояли правильно?
2.6. На столі стоять догори дном 9 склянок. Дозволяється за один раз перевернути будь-які 4 склянки. Чи можна за кілька таких ходів поставити всі склянки в нормальне положення?
2.7. Три коника грають у чехарду: якщо коник з точки А стрибає через коника, що знаходиться в точці В, то він опиниться в точці С, симетричної точці А відносно точки В. У вихідному положенні коники займають три вершини квадрата. Чи можуть вони, граючи в чехарду, потрапити в четверту його вершину?
Рішення.
Введемо на площині систему координат так, щоб три вершини квадрата, в яких знаходяться коники, мали координати (0; 0),
(0; 1) і (1, 0). За зазначених стрибках кожна з координат коників чи залишається незмінною, або змінюється в ту або іншу сторону на парне число (рис 12) х
Так як в початковому положенні
щонайменше одна з координат кожної з трьох точок
парна, то вона при стрибках залишиться парною: парність хо
тя б однієї з двох кожній з точок є інваріант.
Тому потрапити в М один з коників
не може Ответ: не може.
2.8. Є 30 карток, кожна з яких пофарбована з одного боку в червоний, а з іншого - в синій колір. Картки розклали поспіль у вигляді смуги так, що у 8 карток зверху виявився синій колір. За один дозволяється перевернути будь-які 17 карток. Чи можна за кілька ходів домогтися того, щоб смуга стала повністю: а) червоної, б) синьою?
Завдання 1: На дошці написано десять плюсів і п'ятнадцять мінусів. Дозволяється стерти будь-які два знаки і написати замість них плюс,...
