рации, Які будут розглядатіся, асоціатівні. У цьом випадка неважко візначіті степінь елемента множини у такий способ: візначаємо, при покладаємо:. Тоді для будь-якіх додатних ціліх чисел віконуються співвідношення:
і.
Разом з бінарнімі алгебраїчнімі операціямі НЕ позбавлені інтересу більш ЗАГАЛЬНІ -арні операции, так само як и їх зелених сандалів.
Визначення.-арні алгебраїчною операцією на множіні назівається відображення. Число назівається арністю операции.
-арні алгебраїчна операція за елементами множини візначає -й елемент цієї ж множини. При будемо мати відповідно унарна, бінарну, тернарний и т.д. алгебраїчні операции.
прикладом.
1. Перехід до протилежних числа є унарна операцією.
2. Піднесення числа до квадрату є унарна операцією.
. Знаходження абсолютної величини числа є унарна операцією.
. Операція ДОПОВНЕННЯ множини є унарна операцією.
3.3 Обернені бінарні операции
Нехай на множіні определена бінарна алгебраїчна операція.
Визначення. Если для будь-якіх двох елементів и множини існує в множіні один и только одна пара елементів и таких, что и, то кажуть, что для візначеної на множіні бінарної алгебраїчної операции віконується оберніть операція, якові позначають.
Ясно, что если операція комутатівна, то елементи І, про Які йдеться в означенні, збігаються.
прикладом.
. Операцію, обернену до комутатівної операции Додавання (множення) чисел назівають відніманням (діленням). Елемент, Який задовольняє умів і (і), назівають різніцею (частко) i записують (або).
Існують множини, в якіх операции Додавання и множення візначені, а обернені Їм операции віднімання и ділення НЕ віконуються. Такою множини є, например, множини натуральних чисел. Існують такоже множини, например, множини ціліх чисел, в якіх определена операція Додавання и віконується оберніть Їй операція - віднімання, а такоже множини, як, например, множини відмінніх від нуля раціональних чисел, в якіх определена операція множення и віконується оберніть Їй операція - ділення.
оберніть операція, очевидно, не є новою Незалежною операцією, вона - похідна від операции.
3.4 Елементи, віділені відносно бінарної операции
Визначення. Если існує елемент такий, что, то ВІН назівається ідемпотентнім по відношенню до операции, або просто ідемпотентом.
Визначення. Если існує елемент такий, что, то ВІН назівається нейтральних відносно операции, или одінічнім.
прикладом.
. У множіні 0 - нейтральний елемент відносно Додавання +:
, а 1 - відносно множення:
. У множіні всех квадратна матриця -го порядку Нульовий матриця є нейтральними елементом відносно Додавання матриць, а одінічна матриця - відносно множення матриць.
. У множіні всех підмножін Деяк універсуму - нейтральний елемент відносно про єднання:, а - нейтральний елемент відносно перерізу:.
Теорема (про єдіність нейтрального елемента). Если відносно операции існує нейтральний елемент, то ВІН єдиний.
Доведення. Припустиме, что існують дві нейтральних відносно операции елементи та І, тобто
;
.
Тоді, оскількі - нейтральний елемент, І, оскількі - нейтральний елемент. Отже. Одержані суперечність доводити теорему.
Визначення. Елемент назівається симетричним елементи відносно операции, если, де - нейтральний відносно операции елемент.
прикладом.
. Нейтральний елемент, очевидно, симетричного Сам собі.
. У множіні відносно Додавання симетричним елементи є елемент, Який назівається протилежних до. Відносно множення симетричним елементи є елемент, Який назівається оберненім до.
. У множіні всех квадратна матриця -го порядку відносно операции множення матриць симетричного є взаємно обернені матриці.
Теорема (про єдіність симетричного елемента). Если бінарна операція, определена на множіні, асоціатівна, то для будь-которого елемента в ньом может існуваті НЕ более одного симетричного елемента.
Доведення. Припустиме, что і - дві різніх симетричного Елемент елемента, так что
,.
Тоді
