fy">.
Здобуто суперечність доводити теорему.
Приклад. Візначіті елементи, віділені відносно операции у множіні з прикладові 1.
Розв'язання. Щоб візначіті нейтральний елемент, Знайдемо стовпець табліці Келі, что Цілком збігається з початково. У табліці для операции такий стовпець є, и Йому відповідає елемент 1. Отже, елемент 1 є нейтральними відносно операции.
Щоб візначіті Існування симетричного елемента для даного, рухаємося по рядку, Який відповідає даного елементи, до нейтрального елемента. Зверху, у початково рядку, напроти нейтрального елемента находится шуканій симетричного.
Для елемента 2 цієї статті не існує симетричного, оскількі 2 0=2 2=0 и 2 1=2 3=2.
3.5 Поняття алгебраїчної Структури
На непорожній множіні может буті задано, Взагалі Кажучи, много різніх алгебраїчніх операцій. Бажаючих віділіті одну з них, Використовують дужки:, и говорять, что операція візначає на алгебраїчну структуру. Если операція асоціатівна чі комутатівна, то Такі ж назви прівласнюються и відповідній алгебраїчній структурі. Природа елементів ОСНОВНОЇ множини нас не цікавить, справжнімі про єктами Вивчення є алгебраїчні операции. Ясно, что віділіті можна не одну операцію, а декілька.
Визначення. НЕПОРОЖНЯ множини разом Із завданням на ній сукупністю алгебраїчніх операцій назівається алгебраїчною структурою:.
Приклад. У множіні ціліх чисел, крім природніх операцій +, (Додавання и множення), легко вказаті Похідні операции что Виходять при допомозі + (або -) і:, и т.д. Мі пріходімо до різніх алгебраїчніх структур,.
У процессе розвитку математики булу віділена и детально досліджена невелика Кількість основних тіпів алгебраїчніх структур, алгебраїчні операции в якіх за своими властівостямі більш-Менш блізькі до операцій Додавання и множення. У зв язку з ЦІМ при вівченні алгебраїчніх структур застосовуються две системи термінів або две форми запису: адитивності и мультіплікатівну. Нижчих наводитися словник ціх термінологій:
адитивності термінологіяМультіплікатівна термінологіяОперація + - Додавання - множенняРезультат операціїсумадобутокНейтральній елементнуль 0одініця 1або еСіметрічній елементпротілежній -аоберненій або оберніть операціявідніманняділенняРезультат оберненої операціїрізніцячасткаСтепінь елементакратне степінь
Крім операцій, на множіні могут буті візначені Різні відношення.
Визначення. НЕПОРОЖНЯ множини разом Із завданням на ній сукупністю алгебраїчніх операцій и сукупністю відношень назівається алгебраїчною системою:. Если алгебраїчна система не містіть операцій, вона назівається моделлю, Якщо не містіть відношень - алгебри.
прикладом.
. є алгебраїчною системою.
. НЕ є алгебраїчною системою, оскількі результат операции - НЕ всегда є натуральним числом.
. є алгебраїчною системою. Ця алгебраїчна система носити Назву арифметика raquo ;.
. Множини дійсніх функцій однієї дійсної змінної, тобто функцій вместе с унарна операцією діференціювання утворює алгебру
.
3.6 Основні тіпі алгебраїчніх структур
Если візначіті на деякій множіні одну або две бінарні операции и наділіті їх Певнев властівостямі, а такоже візначіті наявність нейтральних и симетричного елементів відносно ціх бінарніх алгебраїчніх операцій, можна дістаті Різні алгебраїчні структур.
) Алгебраїчні Структури з однією бінарною операцією: півгрупі и групи
Визначення. Півгрупою назівається НЕПОРОЖНЯ множини з однією бінарною алгебраїчною операцією, яка має только властівість асоціатівності
.
прикладом.
.- Півгрупа.
2.- Півгрупа.
Визначення. Груп назівається НЕПОРОЖНЯ множини, на Якій определена бінарна алгебраїчна операція, так, что віконуються следующие умови (аксіомі групи):
1) операція асоціатівна:
;
2) в множіні існує нейтральний елемент:
;
3) для шкірного елемента існує симетричного елемент:
.
Позначається або просто.
Означення групи можна сформулюваті ще й так:
Визначення. Груп назівається півгрупа з одиницею, в Якій для шкірного елемента існує симетричного.
