n="justify"> Визначення. Нехай - довільна множини елементів. Бінарною алгебраїчною операцією (або законом композіції) на множіні назівається Довільне (альо фіксоване) відображення декартового квадрата в. Таким чином, будь-Якій впорядкованій Парі елементів однозначно ставитися у відповідність Певний третій елемент тієї ж множини.
Іноді вместо пишуть, а ще Частіше конкретних бінарну операцію позначають спеціальнім символом: +,,, и т.д. Альо коли вівчають ЗАГАЛЬНІ Властивості бінарніх операцій, тобто Властивості, прітаманні Багат конкретним бінарнім операціям, то кажуть про довільні операции, для Позначення якіх будемо користуватись символами і.
Із Означення віпліває: для того, щоб відображення Було бінарною алгебраїчною операцією на множіні, необходимо, щоб задовольняло вимоги:
) Було бінарнім;
) Було всегда віконуванім, тобто всегда можна Було б найти результат виконан операции - елемент;
) Було однозначно, тобто елемент БУВ Єдиним;
) задовольняв бі умову замкненості, тобто щоб обов язково.
Приклад.
. Нехай - відповідно множини ціліх, раціональних, дійсніх та комплексних чисел. Бінарнімі алгебраїчнімі операціямі на ціх множини є, например, Дії Додавання, віднімання та множення.
. Нехай - множини всех квадратна матриця порядку з дійснімі елементами. Бінарнімі алгебраїчнімі операціямі на множіні є, например, Дії Додавання, віднімання та множення матриць.
. Дія знаходження модуля дійсного цифри не є бінарною операцією на множіні, оскількі НЕ віконується Вимога бінарності.
звічайна бінарна операція на скінченній множіні з елементів задається так званні таблицею Келі, яка представляет собою квадратний -таблиця з двома входами, Кожній клітінці якої відповідає впорядкована пара елементів даної множини, елемент стоит у Вибраного рядку, елемент -у Вибраного стовпці.
Приклад. У множіні задано бінарну операцію так, что є остачею від ділення добутку на число 4. Задати бінарну операцію таблицею Келі.
Розв'язання. Таблиця Келі для операции у множіні має вигляд:
3.2 Властивості бінарніх алгебраїчніх операцій
Визначення. Операція на множіні назівається комутатівною, если.
прикладом.
Додавання и множення чисел комутатівні.
Віднімання и ділення чисел некомутатівні.
множения матриць некомутатівне.
Операції перерізу и про єднання множини комутатівні.
Операція декартового добутку двох множини некомутатівна.
Значення комутатівності бінарної алгебраїчної операции Полягає в тому, что вона дает можлівість переставляті елементи, над Якими віконується бінарна операція, и Завдяк цьом спрощуваті формули и тверджень.
Таблиця Келі комутатівної бінарної алгебраїчної операции симетричного відносно діагоналі.
Приклад. Операція у множіні з прикладові 1 є комутатівною, оскількі ее таблиця Келі симетричного відносно діагоналі.
Визначення. Операція на множіні назівається асоціатівною, если:.
Властівість асоціатівності дозволяє опускаті дужки у виразі.
прикладом.
Додавання и множення чисел асоціатівні. Це дозволяє НЕ ставити дужки у виразі
і.
Віднімання чисел неасоціатівне:
(например,)
Операції перерізу и про єднання множини асоціатівні.
Значення асоціатівності бінарної алгебраїчної операции Полягає в тому, что вона дает можлівість візначіті композіцію трьох и Взагалі будь-которого числа елементів множини, взяти у Певнев порядку.
Визначення. Операція на множіні назівається Дистрибутивних зліва відносно операции, если
и Дистрибутивних праворуч відносно операции, если
.
Если операція комутатівна на множіні, то Поняття дістрібутівності зліва и праворуч збігаються. У цьом випадка просто кажуть, что операція Дистрибутивних відносно операции.
прикладом.
множения чисел Дистрибутивних відносно Додавання и зліва и праворуч:
и
Додавання недістрібутівне и зліва и праворуч відносно множення:
та.
Операції перерізу и про єднання множини є взаємно дистрибутивними один відносно одної.
Далі будемо пріпускаті, что всі бінарні опе...
