ю здивованого людини. У підсумку древні єгиптяни могли представляти числа до мільйона.
101001 00010 000100 +0001 000 00 010 000 000 Рис 3. Єгипетська система числення
Найпоширенішим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення
Рис 4. Римська система числення
Позиційні системи числення. Позиційної називається така система числення, в якій величина, що позначається цифрою в запису числа, залежить від її позиції.
Французький математик П'єр Симон Лаплас (1749- 1827) такими словами оцінив відкриття позиційної системи числення: Думка висловлювати всі числа небагатьма знаками, надаючи їм, крім значення але формі, ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цієї простоти важко оцінити, наскільки вона дивовижна .
Перша відома нам система, заснована на позиційному принципі - шестідесятeрічная вавилонська. Наприклад, число 59 в даній системі записується таким чином:
, тобто 59=5 · 10 + 9.
Запис чисел в позиційних системах числення здійснюється наступним чином: безліч цифр, використовуваних для запису чисел в позиційних системах числення, утворює алфавіт. Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Місце кожної цифри в числі - позиція. Сутність позиційного представлення чисел відбивається в розгорнутій формі запису числа.
Підстава (n) НазваніеАлфавітn=2двоічная0, 1n=3троічная0, 1, 2n=5пятерічная0, 1, 2, 3, 4n=8восьмерічная0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7n= 10десятічная0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9n=16шестнадцатерічная0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Основні переваги будь позиційної системи числення - простота виконання арифметичних операцій і обмежена кількість символів, необхідних для запису будь-якого числа.
Двійкова система числення
Двійкова система числення - система числення, побудована на позиційному принципі записи чисел, з використанням тільки двох знаків - цифр 0 і 1. Головне достоїнство двійкової системи - простота алгоритмів додавання, віднімання множення і ділення. Таблиця множення в ній зовсім не вимагає нічого запам'ятовувати: адже будь-яке число, помножене на нуль дорівнює нулю, а помножене на одиницю дорівнює самому собі. І при цьому ніяких переносів у наступні розряди, а вони є навіть у трійчастий системі. Таблиця ділення зводиться до двох равенствам 0/1=0, 1/1=1, завдяки чому поділ стовпчиком багатозначних двійкових чисел робиться набагато простіше, ніж в десятковій системі, і по суті зводиться до багаторазового відніманню.
Таблиця складання, як не дивно, трохи складніше, тому що 1 + 1=10 і виникає перенесення в наступний розряд. У загальному вигляді операцію складання однобітових чисел можна записати у вигляді x + y=2w + v, де w, v - біти результату. Уважно подивившись на таблицю додавання, можна помітити, що біт перенесення w - це просто витвір xy, бо він дорівнює одиниці лише коли x і y дорівнюють одиниці. А ось біт v дорівнює x + y, за винятком випадку x=y=1, коли він дорівнював не 2, а 0. Операцію, за допомогою якої по бітам x, y обчислюють біт v, називають по-різному. Ми будемо використовувати для неї назву «додавання по модулю 2» і символ. Таким чином, додавання бітів виконується фактично не однієї, а двома операціями.
Якщо відволіктися від технічних деталей, то саме за допомогою цих операцій і виконуються всі операції в комп'ютері.
Для виконання складання однобітових чисел роблять зазвичай навіть спеціальний логічний елемент з двома входами x, y і двома виходами w, v, як би складений з елемента множення (його часто називають кон'юнкцією, щоб не плутати з множенням багатозначних чисел) і елемента складання по модулю 2. Цей елемент часто називають полусумматора.
Застосування двійкової системи числення
. «Книга змін»
Двійкова система по суті була відома в Древньому Китаї. У класичній книзі «І цзин» («Книга змін») наведені так звані «гексаграми Фу-сі», перша з яких має вигляд, а остання (64-я) - вид, причому вони розташовані по колу і занумеровані в точній відповідності з двійковій системою (нулями і одиницями відповідають суцільні і переривчасті лінії). Китайці не полінувалися придумати для цих діаграм спеціальні ієрогліфи і назви (наприклад, перша з них називалася «кунь», а остання - «цянь», суцільної лінії зіставляється чоловіче начало янь, а переривчастої лінії - жіноче начало інь).
Кожна гексаграмма складається з двох триграм (верхній і нижній), їм теж відповідають певні ієрогліфи і назви. Наприклад, триграм з трьох суцільних ліній зіставлений образ-атрибут «небо, творчість»...
