точках цього інтервалу. Якщо при переході через точку х 1 зліва направо похідна функції f? (x) змінює знак з «+» на «-«, то в точці х=х 1 функція f (x) має максимум, а якщо похідна змінює знак з «-« на «+» - то функція має мінімум.
Доказ.
Нехай
За теоремою Лагранжа: f (x) - f (x 1)=f? (e) (x - x 1), де x lt; e lt; x 1.
Тоді: 1) Якщо х lt; x 1, то e lt; x 1; f? (e) gt; 0; f? (e) (x - x 1) lt; 0, отже
f (x) - f (x 1) lt; 0 або f (x) lt; f (x 1).
) Якщо х gt; x 1, то e gt; x 1 f? (e) lt; 0; f? (e) (x - x 1) lt; 0, отже
f (x) - f (x 1) lt; 0 або f (x) lt; f (x 1).
Т. к. відповіді збігаються, то можна сказати, що f (x) lt; f (x 1) в будь-яких точках поблизу х 1, тобто х 1 - точка максимуму.
Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.
Затвердження 5: Нехай функція f (x): неперервна і диференційовна на проміжку (a, + нехай, далі, функція f (x) обмежена знизу М таке, що f (x) M gt; 0. Нехай так само існує межа цієї функції при x. Для того щоб знайти inf f (x) необхідно знайти межу функції f (x) при x. Sup f (x) перебувати з умови знаходження точки максимуму.
Якщо межа функції дорівнює нескінченності, то необхідно знайти точки мінімуму і знайти найменше значення в цих точках.
Приклад 3: Розглянемо функцію f (x)=sin x + 2 на проміжку від (1,)
Найбільше і найменше значення функції рівні 3 і 1 відповідно. Значить sup f (x)=3, inf f (x)=1 таким чином C=3.
зростаючий функція дифференцируемость
Приклад 4: Розглянемо функцію f (x)=- x 2 - 1. На проміжку (0, +) дана функція не є майже зростаючій, так як вона не обмежена і не існує точна нижня грань.
Приклад 5: Розглянемо функцію f (x)=5. За визначенням майже зростаючої функції існує C gt; 0: для будь-яких належать [a, b]:= gt; f (?. Тут inf f (x)=sup f (x) Очевидно, що C 1. Розглянь цю функцію на проміжку від [0,3] нехай значення функції в цих точках дорівнює 5. Звідси випливає f (? тобто f (?= gt; 5=5.
Слідство: Для того щоб існувала майже зростаюча функція для функції f (x) необхідно щоб функція f (x) була обмежена знизу позитивним числом, і мав inf f (x) gt; 0.
