Майже зростаюча функція
Визначення: Функція f (x) на відрізку [a, b] називається майже зростаючій на цьому відрізку, якщо існує C gt; 0: для будь-яких належать [a, b] := gt; f (?
Твердження 1. Розглянемо монотонно убуваючу і безперервну на [a, b] функцію f (x). Функція f (x) монотонно убуває на [a, b] тоді існує постійна константа C=на проміжку [a, b] причому inf f (x) gt; 0.
Доказ: За визначенням майже зростаючої функції повинна існувати C (C - const) що f (?. Очевидно, що C=тобто, f (?.
Нехай=a,=b, тому що належать [a, b]. Оскільки функція f (x) монотонно убуває на [a, b] то sup f (x) буде досягатися на лівій межі [a, b], inf f (x) досягається на правій межі. = gt; f (a)=sup f (x) на [a, b], f (b)=inf f (x), так як C=то звідси випливає, що C =. Тим самим знайдено постійне c.
Доведемо що inf f (x) gt; 0. Припустимо гидке, нехай inf f (x)? 0, то і f (b) так як f (a)=sup f (x), f (b)=inf f (x), за визначенням існує C gt; 0 таке що f (?, оскільки функція f (x) монотонно убуває і неперервна на [a, b], то f (a)? тільки тоді, коли З lt; 0. Протиріччя з тим що С gt; 0. Звідси випливає inf f (x ) gt; 0.
Твердження 2. Розглянемо монотонно убуваючу і безперервну на інтервалі (a, +?) функцію f (x). Нехай функція обмежена знизу М таке, що f (x) M і M gt; 0. Тоді якщо функція f (x) має кінцевий межа при x то inf f (x) буде дорівнює цієї межі.
Доказ. Припустимо, що функція f (x) обмежена знизу, тобто, обмежена знизу безліч {f (x)} значень функцій. Тоді для цієї множини існує кінцева точна нижня грань A (A=inf f (x)). Доведемо. Що це число А і буде потрібним межею. Існує, по властивості точної нижньої грані, знайдемо таке значення x gt; a, що f (x) lt; A + оскільки функція монотонна для x lt; x= gt; f (x) lt; A + з іншого боку A - lt; A= gt; виконується нерівність | f (x) - A | lt;
Затвердження 3. Для того щоб монотонно спадна і безперервна на інтервалі (a, +?) функція f (x) майже зростала необхідно щоб inf f (x) gt; 0
Доказ: Аналогічно доведенню для монотонно спадною на [a, b] функції f (x).
Приклад 1: Розглянемо функцію f (x)=- +3 на проміжку від [0,1] існує З gt; 0. На проміжку [0,1] sup f (x)=3, inf f (x)=2= gt; C
Приклад 2: Розглянемо функцію f (x)=на проміжку від (1,) функція обмежена знизу М gt; 0, так як існує межа цієї функції і M gt; 0, то існує. Очевидно що на проміжку (1, sup f (x)=8, а для того щоб знайти inf f (x) необхідно знайти межу цієї функції.== 2. Inf f (x) gt; 0 Таким чином,.
Затвердження 4 . Нехай функція f (x): неперервна і диференційовна на всьому проміжку [a, b] шлях далі існує. Для того щоб знайти inf f (x) і sup f (x) на проміжку [a, b] необхідно знайти точки екстремуму і обчислити значення функції в цих точках. Тобто:
1) Знайти f? (x)
) Знайти точки, в яких f? (x)=0 або f? (x) не існує, і відібрати з них ті, що лежать всередині відрізка [ab];
3) Обчислити значення функції f (x) в точках, отриманих в пункті 2, і на кінцях відрізка і вибрати з них найбільше і найменше; вони і будуть відповідно sup f (x) і inf f (x) для функції f (x) на відрізку [a, b].
Наслідок: Для того щоб обчислити inf f (x) і sup f (x) необхідно, щоб існували точки екстремуму.
Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f (x) диференційовна в точці х=х 1 і точка х 1 є точкою екстремуму, то похідна функції звертається в нуль в цій точці.
Доказ. Припустимо, що функція f (x) має в точці х=х 1 максимум.
Тоді при досить малих позитивних D х gt; 0 вірна нерівність:
f (x 1 +) lt; f (x), тобто f (x 1 +) - f (x) lt; 0. Тоді при lt; 0
при gt; 0
За визначенням:=f? (x 1) тобто якщо? х? 0, але? х lt; 0, то f? (x 1)? 0, а якщо? Х? 0, але? Х gt; 0, то f? (X 1)? 0.
А можливо це тільки в тому випадку, якщо при? х? 0 f? (x 1)=0.
Для випадку, якщо функція f (x) має в точці х 2 мінімум теорема доводиться аналогічно.
Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)
Нехай функція f (x) неперервна в інтервалі [a, b], і дифференцируема у всіх...
