Після розділення змінних та інтегрування (4), отримаємо:
(5)
Уявімо (5) в Декартовій системі координат:
(6)
Підставивши вираз (6) в рівняння Лапласа, неважко переконатися в тому, що воно задовольняється:
Оскільки рівняння Лапласа лінійно і однорідно, його рішення мають важливим властивістю: сума приватних рішень рівняння і твір приватного рішення на константу, також є його рішенням. Ця властивість дозволяє використовувати при вирішенні завдань метод суперпозиції. З погляду гідромеханіки це означає, що якщо заданий потенціал кожної i-ой свердловини, коли в пласті працює одна єдина i-ая свердловина, то при спільній роботі в пласті N свердловин рішення знаходиться алгебраїчним підсумовуванням потенціалів всіх діючих свердловин. Таким чином, при спільній роботі в пласті N свердловин результуючий потенціал в довільній точці М перебуває як сума потенціалів всіх свердловин:
, де (8)
де ri - відстань від точки М до i-ой свердловини; Сi - постійні інтегрування.
Вищевикладені формули застосовні лише для нестисливої ??рідини. При фільтрації газу можна використовувати метод суперпозиції, але для потенціалів, визначених через функцію Лейбензона. Тому потрібно ввести потенціал не для вектора швидкості фільтрації, а для вектора масової швидкості фільтрації:
(9)
(10)
Формула (9) визначає потенціал добувної газової свердловини (стоку). Отримане значення потенціалу, як і функція Лейбензона задовольняє рівнянню Лапласа, отже, за аналогією зі стисливою рідиною можна записати результуючий потенціал в довільній точці М при спільній роботі N свердловин:
, де (11)
2.2 Дебіт газової свердловини розташованої в прямокутному секторі пласта, обмеженому скидами
Для знаходження дебіту свердловини, розташованої в прямокутному секторі (Рис.2), необхідно реальну свердловину відобразити щодо непроникних кордонів, при цьому дебіти відображених свердловин повинні мати той же знак, що і дебіт реальної свердловини (Мал. 3).
Рис.2 Рис.3
Використовую формулу (11), визначимо потенціал в точці М, послідовно розташовуючи її на вибої реальної свердловини і на контурі харчування.
(12)
, якщо Rк gt; gt; rc, a, b (13)
Віднімемо рівність (13) з (12) і висловимо qm:
(14)
(15)
Рівняння (15) виражає функцію Лейбензона для досконалого газу. Запишемо вираз для визначення масового дебіту газової свердловини, розташованої в прямокутному секторі, обмеженому скидами на підставі формул (9), (14) і (15):
(16)
Для зручності проведення розрахунків рівняння (16) можна записати в циліндричних координатах:
(17)
У випадку, якщо видобувна свердловина розташована в круговому пласті на відстані? від його центру до, її масовий дебіт визначається за формулою:
(18)
. 3 Розподіл тиску в прямокутному секторі
Для того щоб знайти розподіл тиску уздовж променя, що проходить через вершину сектора і центр свердловини, необхідно реальну свердловину відобразити щодо непроникних кордонів, при цьому дебіти відображених свердловин повинні мати той же знак, що і дебіт реальної свердловини.
Рис.4
Визначимо тиск в точці М, розташованої на промені, що з'єднує вершину сектора і центр свердловини, між свердловиною і контуром харчування (Рис.4). Позначимо через?- Відстань від вершини сектора до центру свердловини, R - відстань від вершини сектора до точки М. Визначимо потенціал в точці М за допомогою рівняння (18) і теореми косинусів:
Розглянемо випадок, коли точа М розташована між вершиною сектора і центром свердловини. Тоді значення потенціалу в точці М дорівнюватиме:
Таким чином, формула розподілу тиску уздовж променя, що проходить через вершину сектора і центр свердловини має вигляд:
(19)
Якщо видобувна свердловина розташована ацентрічно в круговому пласті, на видаленні? від його центру, то розподіл тиску по пласту визначається за допомогою принципу суперпозиції і задається формулою:
, де (20)
3. Розрахункова частина
. 1 Дослідження залежності дебіту газової свердловини від її координат всередині сектора
) Дослідження залежності дебіту газової свердловини від кута? між непроникною кордоном і напрямком на свердловину при фіксованій відстані від вершини сектора до центру свердловини.
