align="justify"> Так як ми обмежуємося третім ступенем членів ряду, вирішити систему рівнянь (4.8) не представляється можливим, оскільки кожна попередня система містить невідомі члени наступної системи, і загальне число невідомих кожної системи, більше числа її рівнянь. Отже, для даного об'єкта знайти оптимальне управління за критерієм Красовського не представляється можливим.
5. Знаходження управління оптимального по швидкодії
Для пошуку оптимального за швидкодією керування використовуємо спосіб, при якому функції перемикання визначаються, починаючи з останнього інтервалу до першого, оскільки у разі оптимальності управління, розгляд його з кінця по інтервалах дозволить отримати загальне оптимальне управління, в іншому випадку отримане управління буде не оптимальним. Знайдені функції об'єднуються в одну загальну функцію перемикання і записуються остаточне рішення для оптимального управління.
На кожному інтервалі руху об'єкт управління втрачає одну ступінь свободи, тобто фазовий простір об'єкта стискається на одиницю, і на третьому інтервалі буде складатися всього з однієї координати, тобто функція перемикання має вигляд:
, (5.1)
звідки випливає, що еквівалентне оптимальне управління на цьому інтервалі запишеться:
(5.2)
На 2-му інтервалі похідна від функції перемикання має вигляд
, (5.3)
при маємо:
, (5.4)
з урахуванням (4.1) отримаємо:
(5.5)
Згідно (4.3), (4.4) маємо тотожність:
(5.6)
На основі (4.1) і (4.8) вираз (4.5) має вигляд:
(5.7)
Функція перемикання на другому інтервалі:
(5.8)
(5.9)
Поділимо вираз (5.7) на (оскільки позитивно певна функція, то це змінить тільки амплітуду і не вплине на моменти перемикання):
(5.10)
Введемо заміну:, при цьому константа С1 в (5.10) буде визначати значення.
На 1-му інтервалі похідна від функції перемикання має вигляд
, (5.11)
при маємо:
, (5.12)
з урахуванням (5.1) отримаємо:
(5.13)
Згідно (5.11) маємо тотожність:
(5.14)
На основі (5.1) і (5.16) вираз (5.13) має вигляд:
(5.15)
Функція перемикання на першому інтервалі:
(5.16)
(5.17)
Поділимо вираз (5.17) на:
(5.18)
Введемо заміну:, при цьому константа С2 в (5.16) буде визначати. ??
У результаті в системі MathCad необхідно промоделювати наступну систему п'ятого порядку:
, при початкових умовах
, (5.19)
де.
Рис. 5.1. Перехідні процеси для
Рис. 5.2. Графік управління
. Порівняння результатів моделювання
Порівняємо перехідні процеси при оптимальному управлінні по точності, оптимальному за швидкодією і оптимальному за квадратичним функціоналом якості:
Рис. 6.1. Графіки перехідних процесів для x 1, x 2, x 3 для управління, оптимального за квадратичним функціоналом якості.
Рис. 6.2. Графіки перехідних процесів для x 1, x 2, x 3 для управління, оптимального за точністю.
Рис. 6.3. Графіки перехідних процесів для x 1, x 2, x 3 для управління, оптимального за швидкодією.
Висновок
У ході виконання даної курсової роботі на першому етапі був отриманий закон оптимального управління по квадратичному функціоналу якості, для об'єкта, описуваного системою диференціальних рівнянь, перехідний процес триває 13 секунд.
На другому етапі був отриманий закон оптимального управління по точності - перехідний процес триває 11 секунд.
На третьому етапі був отриманий закон оптимального управління по швидкодії. На цьому етапі трудність рішення задачі становила в підборі констант інтегрування С 1 і С 2. Після підбору і моделювання системи управління отримали необхідний перехідний процес, який триває 7.2 секунди.
Після порівняння 3-х законів управління можна сказати, що для досліджуваної системи найбільш оптимальним керуванням є управління оптимальне за швидкодією, так як при цьому управлінні час перехідного процесу мінімально.
