л х (k) обробляється дискретним фільтром, в результаті чого виходить вихідний сигнал у (k). Цей вихідний сигнал порівнюється з зразковим сигналом d (k), різниця між ними утворює сигнал помилки е (k), Завдання адаптивного фільтра - мінімізувати помилку відтворення зразкового сигналу. З цією метою блок адаптації після обробки кожного відліку аналізує сигнал помилки і додаткові дані, що надходять з фільтра, використовуючи результати цього аналізу для підстроювання параметрів (коефіцієнтів) фільтра.
Рис. 1. Загальна структура адаптивного фільтра.
Можливий і інший варіант адаптації, при якому зразковий сигнал не використовується або необхідні параметри сигналу безпосередньо не можуть бути виміряні. Такий режим роботи називається адаптацією за непрямими даними (blind adaptation) або навчанням без вчителя (unsupervised learning). Дослідження останнього варіанту адаптації не входить в рамки даної курсової роботи.
В якості фільтра в структурі, показаної на рис. 1, найчастіше використовується нерекурсивний цифровий фільтр. Одним з головних достоїнств цього варіанту є те, що нерекурсивний фільтр є стійким при будь-яких значеннях коефіцієнтів. Однак слід пам'ятати, що алгоритм адаптації в будь-якому випадку вносить в систему зворотний зв'язок, внаслідок чого адаптивна система в цілому може стати нестійкою.
Далі будуть розглянуті два адаптивних алгоритму з використанням зразкового сигналу, часто вживаних на практиці в різних системах обробки інформації. Для спрощення математичних викладок припустимо, що сигнали і фільтри є речовими. Однак результуючі формули легко узагальнюються на випадок комплексних сигналів і фільтрів.
2. Алгоритми адаптивної фільтрації
. 1 Оптимальний фільтр Вінера
Перш ніж розглядати власне алгоритми адаптації, необхідно визначити ті оптимальні параметри фільтра, до яких ці алгоритми повинні прагнути. Підхід до задачі оптимальної фільтрації може бути як статистичним, так і детермінованим. Спочатку розглянемо статистичний варіант.
Нехай вхідний дискретний випадковий сигнал {} обробляється нерекурсивними дискретним фільтром порядку N, з коефіцієнтами {wn},=0,1, ..., n. Вихідний сигнал фільтра дорівнює
. (1)
Крім того, є зразковий (також випадковий) сигнал d (k). Помилка відтворення зразкового сигналу дорівнює
(2)
Необхідно знайти такі коефіцієнти фільтра {wn}, які забезпечують максимальну близькість вихідного сигналу фільтра до зразкового, тобто мінімізують помилку. Оскільки також є випадковим процесом, в якості запобіжного її величини розумно прийняти середній квадрат. Таким чином, оптимізується функціонал виглядає так
Для вирішення поставленого завдання перепишемо (2) в матричному вигляді. Для цього позначимо вектор-стовпець коефіцієнтів фільтра як w, а вектор-стовпець вмісту лінії затримки на k-му кроці як x (k):
Тоді (2) прийме вигляд:
. (3)
Квадрат помилки дорівнює
Статистично усредняя це вираз, отримуємо наступне:
(4)
адаптивний сигнал фільтр алгоритм
Вхідні в отриману формулу усереднені величини мають наступний сенс:
?- Середній квадрат зразкового сигналу, не залежить від коефіцієнтів фільтра, тому може бути відкинуто;
? - вектор-стовпець взаємних кореляцій між k-м відліком зразкового сигналу і вмістом лінії затримки фільтра на k-му кроці. Будемо вважати випадкові процеси x (k) і спільно стаціонарними, тоді вектор взаємних кореляцій не залежить від номера кроку k. Позначимо цей вектор як p:
? - кореляційна матриця сигналу, що має розмір. Для стаціонарного випадкового процесу кореляційна матриця має вигляд матриці Теплиця, тобто уздовж її діагоналей стоять значення кореляційної функції:
де - кореляційна функція (КФ) вхідного сигналу.
З урахуванням введених позначень (4) приймає наступний вигляд:
(5)
Цей вираз являє собою квадратичну форму щодо w і тому при невиродженої матриці R має єдиний мінімум, для знаходження якого необхідно прирівняти нулю вектор градієнта:
(6)
Звідси отримуємо рівність:
(7)
Помноживши зліва обидві частини на зворотний кореляційний матрицю, отримаємо шукане рішення для оптимальних коефіцієнтів фільтра:
(8)
Такий фільтр називається фільтром Вінера. Підстановка (8) в (5) дає мінімально досяжну дисперсію сигналу помилки:
(9)
Нескладно також показати, що і, тобто що с...
