тим співвідношенням
(1)
де u (r, t) - величина, характеризує хвильовий рух в точці r у момент часу t, наприклад, зсув частинок середовища в поверхневій або звуковій хвилі, одна з компонент напруженості поля в електромагнітній хвилі і т. п. Частота визначає швидкість зміни величини u з часом, хвильовий вектор k визначає швидкість зміни величини u в просторі. Напрямок хвильового вектора визначає собою напрям поширення плоскої хвилі. З частотою і хвильовим вектором k пов'язані такі величини, як період коливань хвилі Т і довжина хвилі:
;
Ставлення
називається фазовою швидкістю поширення хвилі.
З приводу виразу (1) для плоскої хвилі необхідно зробити два зауваження. У природі існує багато типів хвильового руху: хвилі на поверхні рідини, пружні хвилі (зокрема, звук), електромагнітні хвилі (зокрема, радіохвилі, світло), відповідно до гіпотезою де Бройля можна говорити про електронні хвилях і взагалі про хвилі речовини і т. д. Незважаючи на специфіку кожного типу хвиль, всі вони мають багато спільних рис. Наприклад, для всіх цих хвиль можна ввести уявлення про плоских хвилях (1). Правда, деякі з цих хвиль можуть бути багатокомпонентними, т. Е. Хвиля в кожній точці описується не однією, а декількома величинами. Електромагнітні хвилі, що цікавлять нас в даній книзі, якраз є багатокомпонентними. Вони описуються в кожній точці простору електричним вектором (3 компоненти) і магнітним вектором (3 компоненти), всього 6 компонент. Однак електромагнітні поля, які розглядаються нижче, як правило, влаштовані так, що всі їхні компоненти можуть бути виражені через одну виділену компоненту. Тоді достатньо розглянути тільки хвилю, відповідну виділеної компоненті. Звичайно як виділеної компоненти використовується найбільша поперечна (по відношенню до напрямку розповсюдження поля) компонента електричного поля. Тут же відзначимо, що подібне однокомпонентне наближення (зведення до однієї компоненті в загальному випадку може бути зроблено лише наближено) є дуже ефективним і дозволяє описати переважну частину властивостей лазерних резонаторів.
Друге зауваження стосується комплексного уявлення хвилі (1). Подібне уявлення або запис хвильових величин широко поширене і дуже зручно. Можливість такого запису заснована на простому обставині, а саме, якщо деяка комплексна величина задовольняє того чи іншого лінійних диференціальних рівнянь (або навіть системі таких рівнянь) з речовими коефіцієнтами, то того ж рівнянню задовольняють окремо речова і уявна частини цієї комплексної величини. Має місце і зворотне положення: якщо деякі дві величини задовольняють згаданого вище диференціальному рівнянню, то йому ж задовольняє і комплексна величина, в якій перші дві величини є відповідно і уявною частинами.
Зрозуміло, всяка фізично спостерігається величина є речовій. Тому, виконавши ті чи інші математичні перетворення в зручній комплексній формі, для отримання фізично спостережуваних величин слід переходити до речових величинам. Так, взявши речову частину і, отримаємо
(2)
речовий вираз, що описує фізично спостережуване явище поширення плоскої хвилі. Уявна частина u також може бути використана в якості речового виразу для хвилі
це вираз може бути отримано і з виразу (2), якщо в останньому фазі ср надати нове значення, рівне
У даній книзі ми будемо цікавитися майже виключно монохроматичними хвилями, тобто хвилями з фіксованою частотою; описують такі хвилі вираження завжди містять множник
Саме через те, що цей множник завжди один і той же, він може бути опущений у всіх виразах, за винятком тих, де його роль спеціально підкреслюється.
Так, для плоскої хвилі виходить вираз
(3)
Якщо речову частину хвилі (3) помножити на або то вийде
вираз, що описує стоячу хвилю.
Таким чином, обчислюючи речову частину хвилі (1), отримуємо речовий вираз для плоскої біжучої хвилі. Якщо ж обчислити речову частину тієї ж хвилі (1), але з опущеним тимчасовим множником, і помножити цю частину на або, то вийде речовий вираз для стоячої хвилі. Те ж правило залишається справедливим і для хвиль більш складної конфігурації, ніж плоска хвиля.
Іноді амплітуду хвилі G допомогою співвідношення
переводять у показник ступеня, при цьому хвиля типу (17) приймає вигляд
(4)
де a і b - деякі функції аргументів r і t. У цьому випадку слід ...
