розуміти, що речова частина показника ступеня описує амплітудний розподіл хвилі (4), а уявна частина того ж показника описує залежність фази від г і t. У деяких випадках показник ступеня може являти собою вираз, в якому речова і уявна частини не розділені, тоді для відшукання амплітудного і фазового розподілів досить зробити такий поділ відомими математичними методами.
Повернемося тепер до опису гауссова пучка. Від плоскої хвилі він відрізняється насамперед тим, що займає не весь простір, а деяку обмежену його частина, основна частина гауссова пучка зосереджена всередині фігурної трубки, утвореної обертанням гіперболи навколо тієї її осі, яку гіпербола не перетинає (виберемо цю вісь як осі z координатної системи) (рис. 1.1). Уздовж осі z гаусів пучок простягається від до. Поле гауссова пучка відмінно від нуля як усередині трубки, так і поза нею, але поза трубки воно швидко убуває при видаленні від осі пучка і стає мізерно малим в порівнянні з полем усередині трубки.
Математично гаусів пучок описується наступними двома еквівалентними виразами:
(5)
(6)
де - відстань від точки спостереження в пучку до осі z і G - амплітудна константа. Цей пучок наближено та з урахуванням інших компонент поля задовольняє рівнянням Максвелла при залежності від часу виду (у виразах (5) і (6) ця залежність, як домовлено, опущена). Звернемо увагу, що залежність показника експоненти від поперечних координат квадратична. Як ми побачимо далі, ця Квадратичність є істотним якістю гауссова пучка. Залежність від поздовжньої координати z складніша, крім того, від z залежить також і предекспоненціальний множник. У виразах для гауссова пучка фігурує речовинний параметр b, що має розмірність довжини і званий параметром гауссова пучка або частіше параметром конфокальную гауссова пучка. Гаусів пучок вважається заданим, якщо відомі його параметр b і хвильове число
Іноді в якості основних використовують параметри а і до, причому
(7)
Неважко бачити, що другий вираз для гауссова пучка (6) відрізняється від першого (5) тим, що в ньому в показнику експоненти розділені речова і уявна частини. Ця обставина зручно тим, що дозволяє досліджувати амплітудне і фазовий розподілу в гауссовий пучку й інші його характеристики. Переваги ж першої форми з'ясуються пізніше. Відзначимо, що гаусів пучок, оскільки він виражається лише через, володіє циліндричної симетрією.
Розглянемо амплітудний розподіл у площині z=0. З (6), опускаючи множник i, отримуємо
(8)
Подібна залежність в математиці добре відома і носить назву гауссовой експоненти. Від цієї залежності сталося і назва всього пучка - гаусів пучок. Як бачимо, параметр а характеризує поперечний розмір гауссова пучка в площині z=0. У точці г=а залежність (8) має перегин, т.е.
при r=a. Амплітуда гауссова пучка спадає в е раз на відстані від осі пучка. Щільність енергії в пучку пропорційна квадрату модуля u:
і, отже, щільність енергії пучка спадає в е раз при r=а.
Величину а зазвичай називають напівшириною гауссова пучка в перетяжки.
(9)
Як бачимо, залежність щільності енергії від радіуса якісно така ж, як і в площині z=0, т. е. залишається гауссовой експонентою, однак характерний поперечний розмір гауссова пучка змінився. Він став рівним
(10)
т. е. збільшився. Очевидно, він збільшився б і в тому випадку, якби ми поклали z - gt;-z, тобто пішли б вліво від площини z=0 (рис. 1.1). Отже, в площині z=0 поперечний розмір гауссова пучка мінімальний - це місце пучка називається перетяжкою. Відзначимо, що радіус пучка і координата z пов'язані один з одним, згідно (10), рівнянням
(11)
т.е. крива являє собою гіперболу, що і зазначалося вище (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Гіперболічні каустики, що обмежують поле гауссова пучка
Поверхня, що утворюється при обертанні цієї гіперболи навколо осі симетрії (т. е. навколо осі z) - однопорожнинний гіперболоїд обертання - називається каустичної поверхнею або просто каустик гауссова пучка. Це назва прийшла з геометричної оптики.
Відзначимо, що в поздовжньому напрямку гаусів пучок можна розбити на три частини. У центральній частині, при, поперечні розміри пучка порівняно мало змінюються зі зміною z. У двох же периферійних частинах, z gt; b і z lt;- B, поперечні розміри пучка помітно ростуть із зростанням і пр...
