, яка проходити через ЦІ точки, буде прямою, что задається рівнянням, бо координати даних точок задовольняють це Рівняння. Доведемо, что ця пряма єдина. Припустиме, что через и проходять две Прямі. Тоді система рівнянь має дві розв язки. Альо в такому разі вона має безліч розв язків І, отже, ЦІ Рівняння лінійно залежні тобто відрізняються лишь став множніком. А це означає, что Прямі збігаються, тобто через две крапки не могут проходити две Різні Прямі.
2.Доведемо істінність аксіомі 2, яка стверджує, что на Кожній прямій існують прінаймні две точки, и існують три крапки Які не лежати на прямій.
Нехай - Рівняння прямої. Тоді одна Із Коефіцієнтів a и b відмінний від нуля. Нехай, например,. Візьмемо довільні числа и Знайдемо числа за формулами
Точки и лежати на даній прямій.
Розглянемо точки (0; 0), (0; 1) і (1; 0). ЦІ три крапки не лежати на одній прямій. Справді, Припустиме, что смороду лежати на деякій прямій. Підставляючі координати точок у це Рівняння послідовно, одержимо з=0; b=0; c=0, что суперечіть нашому Означення прямої [1, c.58].
Надамо конкретного Арифметичний змісту Поняття «довжина відрізка».
Означення 4. Відстанню между точками (;), () назвемо число
Означення 5. Довжина відрізка назвемо відстань между его кінцямі.
Тоді віконується Аксіома Існування відрізка даної довжина. Дійсно, Пожалуйста б НЕ Було дійсне число d gt; 0. існує відрізок довжина d. Таким відрізком буде, например, відрізок з кінцямі в точках (0; 0) і (d; 0), оскількі
Перевірімо виконан аксіомі паралельних, а самє: покажемо, что в декартовій реализации через точку (х0; y0) яка лежить зовні прямої можна провести її не более однієї прямої, паралельної Їй. Припустиме, что існують две Прямі i Які проходять через точку (х0; y0) i Паралельні даній прямій. Тоді обідві системи рівнянь: i несумісні. Тому їх візначнікі дорівнюють нулю:.
Звідсі віпліває, что Оскількі ж система рівнянь
має розв'язок (х0; y0), то ее Рівняння лінійно залежні, тобто відрізняються лишь множніком. А це означає, что Прямі збігаються, что суперечіть умові. Аксіома паралельних, таким чином, у декартовій реализации віконується.
Аналогічно можна показати, что в даній реализации віконуються всі аксіомі евклідової геометрії, сформульовані О. В. Погорєловім (розділ 4). Перевірку виконан ряду других аксіом у Цій реализации можна найти в Посібнику [19, c.156].
Мі побудувалося Арифметичний реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, Надал Основним геометричність Поняття конкретного Арифметичний змісту и показавши, что всі аксіомі евклідової геометрії в Цій реализации віконуються. Оскількі аксіомі геометрії у Цій реализации доводи на Основі аксіом арифметики, то питання про несуперечлівість системи аксіом евклідової геометрії зводу до питання про несуперечлівість арифметики, тобто евклідова геометрія несуперечливості; если несуперечливості є арифметика дійсніх чисел. А несуперечлівість системи аксіом арифметики підтверджується багатовіковою практикою людства [19, c.157].
1.2 повнотіла системи аксіом евклідової геометрії
Питання про повнотіла системи аксіом тісно пов'язане з Харчування Про ізоморфізм всех ее реалізацій.
Означення 6. Дві реализации R и R 'деякої Теорії Т назіваються ізоморфнімі, если между елементами ціх реалізацій (что відповідають Основним Поняття Теорії Т) можна Встановити взаємно однозначно відповідність, яка зберігає відношення, Встановлені аксіомамі [14 , c.94].
Теорема 1. Если всі реализации системи аксіом Теорії Т ізоморфні, то ця система аксіом повна.
Доведення. Припустиме супротивне: нехай всі реализации системи аксіом Теорії Т ізоморфні, но система аксіом Т неповна. Це означає, что існує деяке тверджень a, Пожалуйста НЕ может буті Виведення з аксіом Т и не находится з ними н суперечності. Тоді можна утворіті две несуперечліві системи аксіом и прієднуючі до аксіом Т аксіому або ее заперечення.
Нехай і - реализации систем аксіом і. Кожна з них є одночасно реалізацією Т. Оскількі в T має місце, має місце a, то ЦІ реализации НЕ ізоморфні. Прийшли до суперечності, яка ї доводити теорему.
Теорема 2. Система аксіом евклідової геометрії є ПОВНЕ, тобто нельзя прієднаті до неї жодних НОВИХ аксіом, Які б НЕ віплівалі з вже прийнятя аксіом и не суперечілі Їм.
Доведення. Согласно з теореми 1 для доведення даної теореми й достатньо Установити ізоморфізм всех реалізацій системи аксіом евклідової геометрії. Оскількі две реализации, ізоморфні третій, є ізоморфнімі между собою, то й достатньо довести ізоморфізм всех реалізацій декартовій реализации. Встановімо такий ізоморфізм.
Нехай R - яка-небудь реалізація системи аксіом евклідової геометрії на площіні. Побудуємо аналітічну геометрію, яка відповідає Цій реализации. ...
