ПЛАН
ВСТУП
§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловім)
.1 Несуперечлівість системи аксіом евклідової геометрії
.2 повнотіла системи аксіом евклідової геометрії
.3 Незалежність аксіомі Існування відрізка заданої довжина
1.4 Незалежність аксіомі паралельних
§ 2. Арифметичний реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
2.1 Несуперечлівість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3
2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля
.3 повнотіла системи аксіом Вейля
§ 3. Доведення несуперечлівості геометрії Лобачевського
.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна
3.2 Реалізація Пуанкаре
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ВСТУП
Одним з найважлівішіх харчування, что вінікають при аксіоматічному побудові науки, є питання про джерела, з якіх черпаються ее фундаментальні істини - аксіомі ї Основні поняття. Геометричні аксіомі ї Основні поняття мают виняткова достовірність. У тій годину, як в других областях знань подивись, Теорії весь годину змінюваліся, много геометричних істин Залишани незміннімі. Це ставило геометрію в особливе становище, віклікало наполеглива роботові думки з питання про джерела геометричних знань [11, c.112].
система аксіом науки назівається сукупність тверджень про ее Основні поняття, прійняті без доказу. Система аксіом даної науки витратило не є однозначною. Например, в сістемі аксіом евклідової геометрії, сформульованої Гільбертом, аксіому паралельних можна замініті еквівалентнім Їй п'ятим постулатом Евкліда, аксіому Дедекинда пропозіціямі Архімеда и Кантора.
Як вже відзначалось, вибір системи аксіом, на Якій будується геометрія, що не є однозначним. Щоб Вибраного сукупність аксіом можна Було покласть в основу побудова геометрії (або Іншої науки) та патенти и достаточно, щоб ця сукупність утворювала систему аксіом, тобто булу несуперечливості, Незалежности и ПОВНЕ [17, c.134].
Мета дослідження: ознайомітіся з Основними Поняття та класичними теоремами, вівчіті та дослідіті систему аксіом геометрії.
Завдання: Відповідно до поставленої мети візначімо следующие Завдання.
Обґрунтування даної системи аксіом геометрії.
Довести ее несуперечлівість, повнотіла, незалежність кожної аксіомі системи від других аксіом цієї ж системи.
Предмет дослідження: система аксіом геометрії.
Про єкт дослідження: Основи геометрії як навчальна дисципліна.
§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловім)
. 1 Несуперечлівість системи аксіом евклідової геометрії
Доведення несуперечлівості системи аксіом зводу до побудова хоча б однієї ее реализации (інтерпретації), в Якій Основні поняття и аксіомі набуваються конкретного змісту. Если існує хоча б один така сфера конкретних промов, відношення между Якими задовольняють Дану аксіоматіку, то несуперечлівість даної системи аксіом буде такою, Якою є несуперечлівість про єктів Теорії (науки), через Які визначаються Основні поняття даної системи аксіом. Отже, доведення несуперечлівості даної системи аксіом є Умовний.
множини про єктів в якіх дана системо аксіом знаходиься реальне втілення, назівається моделлю або інтерпретацією досліджуваної, системи аксіом.
Для побудова реализации системи аксіом евклідової геометрії, запропонованої О.В. Погорєловім, візьмемо об'єкти множини всих дійсніх чисел, тобто Основним Поняття и аксіомам цієї системи Надамо Арифметичний Зміст. Така інтерпретація назівається декартових або Арифметичний [4, c.100].
Надамо конкретного Арифметичний змісту Поняття «точка»,
«пряма», «належаться».
Означення 1. Точкою назвемо будь-яку пару дійсніх чисел х і у, узятих у Певнев порядку: (х; у). Числа х і у назіватімемо координатами точки.
Означення 2. Прямі назвемо сукупність всех точок, координат якіх задовольняють Рівняння, де. Це Рівняння назіватімемо рівнянням прямої. Прямі х=0 и у=0 будемо назіваті осями координат, а точку (0; 0) - качаном координат.
Означення 5.3. Будемо Говорити, что точка Належить прямій, если ее координати задовольняють Рівняння прямої.
Покажемо, что при такому конкретному розумінні основних зрозуміти «точка», «пряма», «належаться» для них віконуються аксіомі належності.
.Доведемо істінність аксіомі І1, яка стверджує, что через две точки можна навести пряму, и до того ж только одну. Нехай и дані точки. Тоді прямою...
