Введемо на площіні прямокутній декартову систему координат точно так, як це робиться в аналітічній геометрії. Тоді Кожна пряма у площіні буде задаватісь лінійнім рівнянням. Для відстані между точками виводами формула
Поставімо тепер у відповідність точці (х; у) декартової реализации точку реализации R з координатами х, у; прямій декартової реализации - прямо в реализации R, яка задається таким самим рівнянням. Ця взаємно однозначна відповідність между точками и прямими декартової реализации и точками и прямими реализации R є ізоморфізмом.
Дійсно, если в декартовій реализации точка А лежить на прямій а і - відповідні точка и пряма в реализации R, то лежить на прямій а '.
Відповідні відрізкі декартової реализации и реализации R мают однакові довжина, оскількі віражаються однією ї тією ж формулою через координати кінців.
Отже, встановл нами взаємно однозначна відповідність между точками и прямими декартової реализации и довільної реализации R -ізоморфізм. Звідсі віпліває, что всі реализации системи аксіом евклідової геометрії ізоморфні І, отже, за теоремою 1 система аксіом евклідової геометрії повна [6, c.255].
1.3 Незалежність аксіомі Існування відрізка заданої довжина
Щоб довести незалежність деякої аксіомі а от других аксіом Теорії T, й достатньо побудуваті таку реалізацію R системи аксіом Теорії Т В якій Аксіома а не віконується. Если таку реалізацію вдається побудуваті, то Аксіома а - незалежна. Дійсно, Якби Аксіома а булу наслідком других аксіом, то це Було б і в реализации R, тобто в R Було б справедливе тверджень a, что суперечіть побудові R.
Цім способом ми й доведемо незалежність аксіомі Існування відрізка даної Довжина від других аксіом евклідової геометрії. [3, c.420].
Теорема 3. Аксіома Існування відрізка заданої Довжина незалежна, тобто НЕ может буті одержані як наслідок з других аксіом евклідової геометрії.
Доведення. Позначімо через G сукупність дійсніх чисел, яка містіть всі раціональні числа, а такоже всі числа, Які одержуються з раціональних чисел помощью скінченного числа Дій Додавання, віднімання, множення, ділення и Добування квадратного кореня. Числами Із G НЕ вічерпуються всі дійсна числа.
Побудуємо тепер декартову реалізацію системи аксіом тім самим способом, что ї Ранее, но будемо користуватись при цьом лишь числами Із G. например, цяткою назвемо пару чіселіз G, прямою - сукупність точок, Які задовольняють Рівняння з коефіцієнтамі а, b, з Із G и т.д. Перевіряючі виконан аксіом, мі слово в слово повторимо всі проведені нами Ранее доведення. При цьом встановімо виконан всех аксіом, крім аксіомі Існування відрізка даної довжина. Ця Аксіома в даній реализации НЕ буде Виконувати. Дійсно, довжина відрізка з кінцямі в даній реализации візначається за формулою
Через ті что числа G, то й d G. Оскількі ж числа G НЕ вічерпують всех дійсніх чисел, то знайдеться таке дійсне число d, Пожалуйста в даній реализации НЕ может буті Довжина Жодний відрізка. Например, у даній реализации НЕ існує відрізка Довжину.
Таким чином, Аксіома Існування відрізка даної довжина покладів від других аксіом евклідової геометрії [13, c.311].
1.4 Незалежність аксіомі паралельних
У такий же способ доведемо незалежність аксіомі паралельних від других аксіом евклідової геометрії.
Рис. 1
Теорема 4. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто НЕ может буті віведена як наслідок з других аксіом.
Доведення. Согласно Із загально способом доведення незалежності аксіом нам й достатньо побудуваті таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в Якій бі віконувалісь всі аксіомі, крім аксіомі паралельних. Побудуємо таку реалізацію.
Під цяткою будемо розуміті довільну точку евклідової площини Всередині одінічного кола під прямою - довільну хорду цього кола (рис. 1) Відношення належності будемо розуміті так, як и в евклідовій площіні. Довжину відрізка АВ з кінцямі візначімо так. Нехай пряма АВ перетінає х2 + у2=1 в точках Тоді довжина відрізка АВ назвемо число
если аналогічній вирази Із заміною х та у, если. У Цій реализации віконуються всі аксіомі евклідової геометрії, крім аксіомі паралельних. Дійсно, через Дану точку кола можна провести безліч хорд, Які НЕ перетінають Дану хорду. Побудова цієї реализации и доводити незалежність аксіомі паралельних від других аксіом [17, c.63].
§ 2. Арифметичний реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії
. 1 Несуперечлівість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3
Основним Поняття систе...
