ний метод - одне з найпотужніших знарядь отримання рівнянь руху, як для дискретних, так і для розподілених систем, в тому числі і для фізичних полів. Методи варіаційного числення застосовні і в статиці.
1. Варіаційне числення
.1 Поняття функціоналу
У курсі вищої математики вводилося поняття функції. Якщо деякому числу з області ставиться у відповідність за певним правилом або законом число, то кажуть, що задана функція. Область називають областю визначення функції.
Якщо ж функції ставиться у відповідність за певним правилом або законом число, то кажуть, що заданий функціонал. Прикладом функціоналу може бути визначений інтеграл від функції або від деякого виразу, залежного від,
Якщо тепер функцііставітся у відповідність за певним правилом або законом знову функція, то кажуть, що заданий оператор або. Прикладами диференціальних операторів можуть служити:
Дамо більш суворе визначення функціоналу. Нехай - безліч елементів довільної природи, і нехай кожному елементу приведено у відповідність одне й тільки одне число. У цьому випадку говорять, що на безлічі заданий функціонал. Безліч називається областю визначення функціоналу і позначається через; число називається значенням функціоналу на елементі. Функціонал називається речовим, якщо всі його значення речовинні. Функціонал називається лінійним, якщо його область визначення є лінійне безліч і якщо
1.2 Завдання, що призводять до екстремуму функціоналу
Зародження варіаційного числення відносять звичайно до 1696, коли І. Бернуллі поставив так звану задачу про Брахістохрона: визначити форму кривою, що у вертикальній площині, по якій важка матеріальна точка, рухаючись під впливом лише однієї сили тяжіння і не має початкової швидкості, перейде зі верхнього положення в нижнє положення за мінімум часу (див. малюнок 1). Ця задача зводиться до відшукання вихідної функції - брахістохрони.
Малюнок 1 - Завдання про Брахістохрона
Нехай рівняння кривої є. Розглянемо деякий момент часу, і нехай у цей момент рухома точка знаходиться на відстані від осі. Тоді, де - швидкість рухомій точки, - прискорення вільного падіння. У той же час:
Звідси випливає, що
Позначимо через час, протягом якого матеріальна точка досягає точки. Інтегруючи, знаходимо
Завдання зводиться до наступного: треба знайти функцію, що задовольняє умові і сообщающую інтегралу найменше значення. Умови означають, що шукана крива повинна проходити через задані точки і. Такого типу умови прийнято називати граничними, або крайовими, так як вони ставляться до кінців проміжку, на якому має бути визначена шукана функція.
Дана задача відноситься до гілки математичного аналізу, званої варіаційним обчисленням. Прикладом застосування кривої у вигляді брахістохрони служить утворює циліндричних поверхонь, використовуваних на дитячих майданчиках, в атракціонах для спуску з піднесення, на трамплінах.
1.3 Перша варіація функціонала
Завдання варіаційного числення полягає в наступному: дан функціонал з областю визначення; потрібно знайти елемент, що повідомляє функціоналу або мінімальне значення, або максимальне. Завдання про максимумі функціоналу тотожна з завданням про мінімум функціоналу.
Будемо розглядати функціонал. Візьмемо довільний елемент довільний елемент. Позначимо через довільне дійсне число. Неважко бачити, що елемент. Складемо вираз. Цей вираз є безперервно диференціюється функція від. Обчислимо її похідну і візьмемо значення цієї похідної при
У результаті одержимо число, яке можна розглядати як значення функціоналу, залежного від двох елементів і.
Функціонал
називається першою варіацією функціонала на елементі і позначається символом:
При цьому різниця двох функційі називають варіацією функції u і позначають.
1.4 Необхідна умова мінімуму функціонала
Нехай функціонал досягає на деякий елемент відносного мінімуму. Візьмемо довільний елемент і довільне дійсне число. За визначенням відносного мінімуму при досить малих значеннях
Ця нерівність означає, що функція однієї дійсної змінної, рівна, має при відносний мінімум. Але тоді необхідно.
Якщо функціонал в деякій точці досягає мінімуму, то в цій точці першого варіація функціонала дорівнює нулю. У цьому полягає необхідна умова екстремуму функціоналу.
1.5 Рівняння Ейлера. Зв'язок між варіаційної і крайової завданнями
Розгля...
