немо основну лемму варіаційного числення (Лемма Лагранжа):
Нехай) - функція, безперервна в області з контуром Г . Якщо безперервної в області разом зі своїми приватними похідними до n -го порядку включно і що звертається в нуль на кордоні Г то.
Для прикладу, розглянутого в главі 1.4, було отримано в точці мінімуму функціоналу умову:
З леми Лагранжа, можемо записати
Уравненіеназивают рівнянням Ейлера. Якщо припустити існування безперервної другої похідної від то рівняння можна записати у вигляді:
Таким чином, умова мінімуму функціонала при крайових умовах призводить до крайовій задачі для рівняння Ейлера при тих же крайових умовах, тобто існує тісний зв'язок між варіаційної завданням про мінімум функціоналу і крайової завданням для рівняння Ейлера для цього функціоналу.
Рішення рівняння Ейлера, що задовольняють крайовим умовам, називають екстремали функціоналу.
1.6 Шляхи вирішення варіаційних завдань
Один із шляхів вирішення варіаційної задачі, тобто задачі знаходження мінімуму деякого функціоналапрі заданих крайових умовах, полягає у зведенні цієї задачі до крайової завданню для диференціального рівняння при тих же крайових умовах, яке є рівнянням Ейлера для цього функціоналу, з подальшим вирішенням цього завдання.
Другий шлях вирішення варіаційної задачі полягає в застосуванні прямих методів, які дозволяють наближено знайти функцію, що дає мінімум функціоналуі задовольняє заданим крайовим умовам.
2. Прямі методи варіаційного числення
Основним питанням, які виникають у зв'язку з будь варіаційної проблемою, є питання про існування рішення. Класичні методи варіаційного числення приводять це питання в першу чергу до питання про існування рішення диференціального рівняння. При цьому шукається рішення не на околиці якої-небудь точки, а у всій області? при певних крайових умовах (рішення в цілому). Доказ існування таких рішень теорія диференціальних рівнянь дає лише в рідкісних випадках. Ця обставина змусила шукати інші підходи до варіаційним проблемам і призвело до створення так званих прямих методів.
Прямі методи варіаційного числення виявилися корисними і для теорії диференціальних рівнянь. Дійсно, якщо деякий диференціальне рівняння можна розглядати, як рівняння Ейлера для деякого функціоналу і якщо якимось прийомом встановлено, що цей функціонал має екстремум в класі достатнє число раз диференційовних функцій, то тим самим доведено, що вихідне диференціальне рівняння має рішення в цілому при розглянутих крайових умовах.
Так як прямий метод полягає в побудові послідовності функцій, сходящейся до шуканої функції, то за допомогою прямого методу не тільки встановлюється існування рішення в цілому, а й дається деякий спосіб для наближеного побудови цього рішення.
2.1 Метод Рітца
Одним з найважливіших практичних методів для побудови мінімізують послідовностей є метод, запропонований в 1908 році Вальтером Рітца. Полягає він у наступному.
Обчислюється n -е наближення до мінімізіруемойфункціі у вигляді
тобто значення функціоналарассматрівается не так на довільних допустимих кривих даної варіаційної задачі, а лише на всіляких лінійних комбінаціях з постійними коефіцієнтами, складених з n перший функцій деякої обраної послідовності функцій
Дані функції часто називають координатними або базисними.
На лінійних комбінаціях функціоналпревращается у функцію коефіцієнтів. Ці коефіцієнти вибираються так, щоб функція досягала екстремуму; отже, повинні бути визначені з умов стаціонарності, тобто з системи
Получающаяся в результаті послідовність функцій сходиться до мінімуму за функціоналом. Закінчуючи процес обчислень, отримують значення, наближено рівне глобального мінімуму (при цьому сама функція може сильно відрізнятися від оптимальної).
На практиці последовательностьобично будують за допомогою системи многочленів або системи тригонометричних функцій. Обидві системи є повними в просторі неперервних функцій.
2.2 Практичне застосування методу Рітца для вирішення варіаційних завдань
Маємо лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку:
Граничні умови, якого:
a))
Вирішуючи вихідне лінійне диференціальне рівняння
Отримаємо загальне рішення диференціального рівняння у вигляді:
Користуючись граничними умовами скла...
