Присутні на всьому часовому інтервалі.
Тепер розглянемо ті самє питання для нестаціонарного сигналу, показання на рис. 4. У Який час існують Різні частоти? Зрозуміло, что НЕ Постійно. Однак, порівнявші спектрів рис. 7 и рис. 9, мі НЕ віявімо особлівої різніці. На обох графіках видно Чотири частотні складові 10, 25, 50 та 100Гц. Крім неоднаковості амплітуд піків, других розбіжностей между спектрами немає, хочай смороду відповідають різнім сигналам у часовій области. Яким чином спектри двох настількі різніх сігналів виявило Схожі? Існує така властівість ПФ, яка дозволяє Побачити частотно наповнення сігналів, альо НЕ дозволяє візначіті, в Який момент годині існує та або Інша частота. Тому ПФ непригодна для аналізу нестаціонарніх сігналів, за одним вінятком: ПФ может використовуват для аналізу нестаціонарніх сігналів, ЯКЩО нас Цікавить позбав частотна інформація, а годину Існування спектральних складових неважливо. У протилежних випадка треба шукати більш підходящій метод аналізу.
Если потрібна Часова локалізація спектральних компонентів, звітність, звернута до частотно-годинного Подання сигналу.
1. Віконне Перетворення Фур'є
Припустиме, что нестаціонарній сигнал кусково-стаціонарний. Такий підхід здобувши Назву віконного (або короткочасного) Перетворення Фур'є (ВПФ).
При ВПФ сигнал поділяється на відрізкі (В«вікнаВ»), у межах якіх его можна вважаті стаціонарнім. Для цього до сигналу застосовується віконна функція w, ширина Якої має дорівнюваті шіріні вікна. Нехай ширина віконної Функції Т сек. Тоді в момент годині t = 0 вона перекрівається з Т сек сигналом. Віконна функція та сигнал перемножуються. Если віконна функція прямокутна и одінічної висота, то сигнал НЕ змінюється. У протележному випадка ВІН зважується з віконною функцією. Потім добуток піддається перетворенню Фур'є. У результаті ми одержуємо ПФ дерло Т сек віхідного сигналом. Если цею відрізок стаціонарний, як ми й припускали, то отриманий результат Перетворення коректно відображає частотну наповнення дерло Т сек сигналу.
Наступний кроком є ​​зміщення віконної Функції на Деяк величину t сек. Функція Із зміщенням вновь множитися Із сигналом, віконується ПФ результату множення. Ця процедура повторюється до Досягнення кінця віхідного сигналом. Всі віщесказане про ВПФ можна записатися у такому вігляді:
,
де - вихідний сигнал, w () - віконна функція. Як видно з вирази, ВПФ є ні что Інше, як ПФ сигналом, помножені на віконну функцію. Отже, мі отрімуємо істінне частотно-годинного Перетворення (ЧЧП) сигналу.
Розглянемо приклад. По-перше, оскількі наше Перетворення є функцією як годині, так и частоти (на відміну від ПФ, что поклади Тільки от частоти), то воно є двовімірнім (о з урахуванням амплітуді, то й трівімірнім). Нехай завдань нестаціонарній сигнал, Наприклад, показань на рис. 6. У цьом сігналі в Різні моменти годині Присутні Різні частотні компоненти: від 0 дo 250мс - 300Гц, І, далі 200, 100 й 50Гц. Погляньте на ВПФ цього нестаціонарного сигналу на рис. 7:
В
Малюнок 6 - Завдань нестаціонарній сигнал
В
Малюнок 7 - ВПФ нестаціонарного сигналу
Це трівімірній графік. За осях В«xВ» та В«yВ» відкладені годину и частота, відповідно. Розглянемо огінаючу частотно-годинного Подання. На графіку чітко віражені Чотири пікі, Які відповідають Чотири частотні компоненти. На відміну від ПФ, ці пікі локалізовані в різніх годин інтервалах. Отже, тепер ми маємо істінне частотно-годинного Подання сигналу. Ми не Тільки знаємо, Які частотні компоненти Присутні в сігналі, альо ї у Який момент годині смороду зустрічаються. p> Если ВПФ Дає частотно-годинного Подання сигналу, то для чого ж нам вейвлет-Перетворення? Властівій ВПФ недолік не видно з Розглянуто прикладу. p> Проблеми ВПФ мают свои корені у явіщі, что назівається принципом невізначеності Гейзенберга. Цею принцип свідчіть, что Неможливо здобудуть довільно точне частотно-годинного Подання сигналу, тоб НЕ можна візначіті для якогось моменту годині, Які спектральні компоненти Присутні в сігналі. Єдине, что мі можемо знати, так це часові інтервалі, протягом якіх у сігналі існують смуги частот. Ця проблема назівається проблемою.Більше розрізнювання. p> Проблема ВПФ пов'язана з шириною віконної Функції, что вікорістовується. Ця ширина назівається носієм Функції. Если вікно й достатньо вузьке, то говорять про компактний носій. Як побачимо надалі, ця термінологія особливо широко вікорістовується в Теорії вейвлет-перетворенням.
Часова інформація при ПФ відсутня. При ВПФ вікно має кінцеву Довжину, накріває Тільки Частину сигналом, тому частотна розрізнювання погіршується. Отже, чім вужчий вікно, тім краще Часовому розрізнювання, альо гірше частотно. І навпаки. Крім того, чім вужчий вікно, тім більш справедливими стають Наші припущені про стаціонарність сигналом в межах вікна.
Для тог...
