Y і Z. Спектральна щільність потужності і кореляційна функція позначаються відповідно і, з відповідним індексом.
Співвідношення між спектральної щільністю потужності і кореляційної функцією встановлюється теоремою Вінера - Хінчина [2]. Математична запис цієї теореми має вигляд:
В , (2.1)
. (2.2)
Знаючи, можна, використовуючи її властивості [1,2], наступним чином визначити математичне сподівання і дисперсію випадкового процесу:
В
, (2.3)
. (2.4)
Для лінійних неінерціонних систем виконується [2] наступне рівність:
, (2.5)
де - коефіцієнт передачі системи.
Час кореляції та ефективна смуга випадкового процесу визначаються [1] відповідно наступними виразами:
, (2.6)
, (2.7)
де - коваріаційна функція, аВ - Значення енергетичного спектру при деякій характерною частоті, зазвичай відповідної максимуму.
Коефіцієнт кореляції з визначення [2] дорівнює:
. (2.8)
2.2 Аналіз проходження сигналу через перший лінійний фільтр
Перший лінійний фільтр являє собою одноконтурний резонансний підсилювач, налаштований на частотуВ . Його АЧХ визначена в завданні і визначається наступним виразом:
.
Графік АЧХ першого фільтра показаний на малюнку 2.2.
В
Малюнок 2.2 АЧХ першого лінійного фільтра.
Вхідна вплив являє собою суму корисного сигналу і білого шуму.
Білий шум має спектр потужності і кореляційну функцію .
Кореляційна функція корисного сигналу знаходиться як математичне очікування твори значень випадкового процесу в два різних моменту часу . У даному випадку корисний сигнал - квазідетермінірованний процес з кореляційної функцією і енергетичним спектром.
У сумі вхідний вплив має такі характеристики:
, (2.9) (2.10)
Графіки кореляційної функції і одностороннього енергетичного спектру наведені на малюнках 2.3 і 2.4.
В
Малюнок 2.3 Кореляційна функція вхідного впливу.
Малюнок 2.4 Енергетичний спектр вхідного впливу. p> Користуючись формулою (2.5), спектр потужності сигналу на виході першого фільтра можна визначити наступним вираженням:
. Двома складовими, відповідними складовим спектру, не пропускається фільтром, через малість нехтуємо. Робоче вираз для енергетичного спектру набуває вигляду:
(2.11)
Графік спектру потужності сигналу на виході першого фільтра показаний на малюнку 2.5. <В
Малюнок 2.5 Спектр потужності сигналу на виході першого фільтра.
Кореляційна функція сигналу на виході першого лінійного фільтра, згідно (2.2), знаходиться як зворотне перетворення Фур'є від енергетичного спектру і обчислюється наступним чином:
Обчислимо кожен інтеграл окремо. По властивості дельта - функції, вона відмінна від нуля тільки тоді, коли аргумент дорівнює нулю. Використовуючи цю властивість, знайдемо третій і четвертий інтеграли:
В
Перший і другий інтеграли обчислимо за допомогою теорії відрахувань. За основною теоремою про відрахуваннях відомо, що якщо функція f ( z ) аналитична в обмеженою одинзв'язної області, за винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок, то її інтеграл по замкнутому контуру g , який лежить в цій області, дорівнює сумі відрахувань, відповідних особливим точкам, охопленим цим контуром.
В
Для першого і другого інтегралів отримуємо:
В
Перейшовши в інтеграли до комплексної частоті і замінивши лінійне інтегрування в нескінченних межах інтегруванням по замкнутому контуру, отримаємо перший інтеграл:
. p> Підінтегральна функція має такі особливі точки:
.
Ми будемо замикати контур у верхній півплощині, і тому накладаємо обмеження. Тоді в контур потрапить один полюс:
.
Значення інтеграла визначається, згідно теорії вирахувань [1], наступним чином:
.
Аналогічно отримаємо другий інтеграл:
.
У сумі маємо
В
Якби ми замкнули контур інтегрування в нижній півплощині, то отримали б ті ж самі вираження за умови. Об'єднуючи обидва випадки, отримуємо модуль в остаточному вираженні:
(2.12)
Що огинає кореляційної функції сигналу на виході першого лінійного фільтра зображена на малюнку 2.6.
В
Малюнок 2.6 Що огинає кореляційної функції сигналу на виході першого фільтра. p> Легко помітити, що фільтр обрізав спектр білого шуму "пофарбувавши" його, і зберіг спектр корисного сигналу. У цьому і полягає вибірковість фільтра. p> Оскільки випадковий процес на виході першого лінійного фільтра містить квазідетермінірованную складову, то користуватися виразами (2.3) і (2.4) для отримання математичного сподівання і дисперсії можна. Тоді врахуємо, що математичне сподівання суми дорівнює сумі математични...
