х сподівань. Користуючись виразом (2.3), отримаємо математичне сподівання шумовий складової. Математичне сподівання сигнальної складової обчислимо за визначенням В
Сумарне математичне очікування, і дисперсію всього відгуку знаходимо за формулою:
.
Використовуючи формули (2.6) і (2.7) для шумовий складової і, час кореляції і ефективну смугу процесу на виході першого лінійного фільтра (для цього процесу так як) визначаю відповідно наступним чином:
,
.
Графіки отриманих залежностей показані нижче.
В
Малюнок 2.7 Залежність дисперсії процесу на виході першого лінійного фільтру від його смуги пропускання.
В
Малюнок 2.8 Залежність часу кореляції процесу на виході першого лінійного фільтру від його смуги пропускання.
2.3 Аналіз проходження сигналу через нелінійний елемент (НЕ)
Нелінійний елемент являє собою двохполуперіодний квадратичний детектор з характеристикою
Кореляційна функція відгуку нелінійного елемента - це математичне сподівання добутку двох значень відгуку НЕ в два різних моменту часу. Враховуючи, що для гармонійного коливання з рівномірно розподіленої фазою і нормального шуму з нульовим середнім всі непарні моменти рівні нулю, отримуємо кореляційну функцію відгуку НЕ в наступному вигляді:,
де,
,
.
Різні доданки вирази для кореляційної функції характеризують взаємодію на нелінійності сигналу з собою, шуму з собою, а також взаємодія сигналу і шуму. Згідно [1], кореляційний функція відгуку детектора при впливі суми вузькосмугового сигналу і стаціонарного нормального шуму з визначається виразом:
. (2.13)
Підставивши в (2.13) вирази для сигнальної та шумовий складових, отримуємо:
(2.14)
Математичне сподівання і дисперсію відгуку НЕ отримаємо аналогічно знаходженню математичного сподівання і дисперсії першого лінійного фільтра:
,
.
Спектр потужності на виході НЕ знаходиться як пряме перетворення Фур'є від кореляційної функції відгуку за формулою (2.1) і має вигляд, показаний на малюнку 2.9.
В
Малюнок 2.9 Спектр потужності на виході нелінійного елемента.
Оскільки другий лінійний фільтр - фільтр нижніх частот (ФНЧ),
то складові кореляційної функції відгуку, відповідні другій гармоніці несучої частоти, можна відкинути. Укорочена (низькочастотна складова) кореляційний функція відгуку НЕ має наступний вигляд:
(2.15)
Беремо пряме перетворення Фур'є від укороченою кореляційної функції і отримуємо низькочастотну складову спектра потужності на виході НЕ:
(2.16) Графіки низькочастотної складової спектру потужності на виході НЕ і відповідної їй складової кореляційної функції наведені нижче.
В
Малюнок 2.10 Що огинає кореляційної функції сигналу на виході нелінійного елемента. <В
Малюнок 2.11 Низькочастотна складова спектра потужності сигналу на виході нелінійного елемента
На підставі виразів і, а також (2.6) і (2.7) час кореляції та ефективна смуга низькочастотної складової процесу на виході НЕ визначається наступним чином:
,
.
Графіки отриманих залежностей показані нижче.
В
Малюнок 2.12 Залежність дисперсії процесу на виході НЕ від смуги пропускання першого лінійного фільтра. <В
Малюнок 2.13 Залежність часу кореляції процесу на виході НЕ від смуги пропускання першого лінійного фільтра.
В
Малюнок 2.14 Залежність середнього значення відгуку НЕ від смуги пропускання першого лінійного фільтра.
2.4 Аналіз проходження сигналу через другий лінійний фільтр
Другий лінійний елемент радіотехнічного ланки - фільтр низьких частот. АЧХ другого лінійного фільтра має вигляд:
.
Графік АЧХ другого лінійного фільтра показаний на малюнку 2.6.
В
Малюнок 2.15 АЧХ другого лінійного фільтра. p> Користуючись (2.5), спектр потужності сигналу на виході другого фільтра можна визначити наступним вираженням:
(2.17)
Графік спектру потужності на виході другого лінійного фільтра показаний на малюнку 2.16.
Малюнок 2.16 Спектр потужності на виході ЛФ2.
Кореляційна функція на виході другого лінійного фільтра визначається згідно (2.2) як зворотне перетворення Фур'є від спектру потужності (2.17). Обчислення інтегралів подібні обчисленням, проведеним при знаходженні кореляційної функції відгуку першого лінійного фільтра. Тут ми також використовуємо властивості дельта - функції при знаходженні постійної складової, і теорію відрахувань при знаходженні флуктуаційної складової. Особливістю взяття вирахувань є тут те обставина, що з'являється полюс кратності два. При його обчисленні необхідно взяти похідну від подинтегральной функції. Ще одна особливість подинтегральних виразів в тому, що при g = b кратність деяких полюсів стає рівною тр...
