. (1.2.13)
, (1.2.14)
де - розсіяна потужність, а - переріз розсіяння.
. (1.2.15)
1.2 Рішення задачі про розсіянні на циліндрі
Вирішується завдання про знаходження полів на такому віддаленні від точок розсіяння, що фронт поширення хвиль цих полів можна вважати площиною. Знайдемо для цього спершу спільне рішення, що характеризує нескінченно довгий циліндр, а потім підставимо у вирішення граничні умови, узагальнивши його тим самим на циліндр довжини L.
Нехай поле падаючих хвиль задається виразом:
, (1.2.1)
де (див. рис. 2.1), падаюча хвиля розкладається в суперпозицію двох поляризацій - горизонтальної лінійної і вертикальної лінійної, а й горизонтальний і вертикальний вектора поляризації.
Падаюча хвиля також може бути представлена ​​у вигляді векторних циліндричних хвилі, тобто наступним чином:
. (1.2.2)
В
Циліндр висоти L, радіуса a і проникності
Загальне рішення буде складатися з виразів для розсіяного поля і поля всередині циліндра об'єднаних граничними умовами. Запишемо тепер вирази, що визначають розсіяне і внутрішньо поля з точністю до невідомих коефіцієнтів,,, на обумовленому раніше відстані від точки розсіяння
, (1.2.3)
, (1.2.4)
де, - символ, за допомогою якого позначається конфігурація функцій Бесселя і Ханкеля для величин, перед якими він стоїть, а - коефіцієнти, одержувані з використанням перетворення Фур'є від виразу (1.2.1)
,
відомі для такого наближення.
Граничні умови задаються рівностями:
, (1.2.5)
, (1.2.6)
з яких можна шляхом перетворень отримати наступні вирази
, (1.2.7)
В
, (1.2.8)
які задають залежність невідомих коефіцієнтів з виразу для внутрішнього поля (1.2.4) від напрямків розповсюдження, полів,, координати і - радіуса циліндра. Таким чином, поле визначено, т. к. коефіцієнти можуть бути легко отримані з (1.2.7), (1.2.8).
Поле, утворилося після розсіювання падаючого поля на циліндрі висоти L, в точках знаходяться на достатньому для нашого наближення видаленні визначимо шляхом інтегрування по кінцевій поверхні циліндра, виключаючи граничні точки, використовуючи формулу
. (1.2.9)
Після підстановки (1.2.4) в (1.2.9) і виконання інтегрування за dz в інтервалі (і по dП† в інтервалі (0; 2ПЂ) отримаємо наступний вираз для поля розсіяних хвиль:
В
{[
]
[
]}. (1.2.10)
Отже, нами були знайдені поля і. Однак є кілька обмежень для отриманих рішень. По-перше, слід мати на увазі, що таке рішення непридатне поблизу точок розсіювання. По-друге, амплітудні коефіцієнти, які використовувалися в рівняннях (2.3), (2.4), були взяті готовими, як відомі для плоских хвиль. У загальному випадку їх потрібно розраховувати окремо для кожного конкретного завдання, використовуючи перетворення Фур'є, як це робиться в роботі [9].
1.3 Швидке перетворення Фур'є
Перетворення Фур'є використовується при вирішенні задачі про розсіянні з метою знаходження амплітудних коефіцієнтів необхідних для опису хвилі. Характер останніх, як уже згадувалося, залежить від того в якому наближенні ми розглядаємо поставлене завдання. Суть застосування перетворення Фур'є полягає в розбитті довільної хвилі на елементарні плоскі хвилі. Таким чином, отримуємо амплітудні коефіцієнти, що стоять як множники перед низкою, у вигляді якого представляється хвиля. Потім можна підставити граничні умови в отримане вираз, що дозволяє висловити невідомі,, ,, Як, наприклад, в (1.2.3), (1.2.4). Потім, провівши зворотне перетворення Фур'є, отримаємо уявлення шуканої хвилі, задовольняє завданню.
Швидке перетворення Фур'є (ШПФ) - це реалізація звичайного (дискретного) перетворення Фур'є (ДПФ), але з набагато меншою кількістю операцій n = Nlog 2 N, де N - розмір рядка даних, на відміну від n = N 2 в ДПФ. У БПФ використовуються виключно N, які є ступенями двійки. Якщо N не є ступенем двійки, то його доповнюють нулями до найближчої зі ступенів.
Для здійснення ШПФ можна використовувати лему Данієльсона-Ланкзоса, яка розбиває ряд ДПФ
, (1.3.1)
де - вихідна функція, на дві суми - По парних і непарних індексам j:
. (1.3.2)
=, (1.3.3)
де. Це і є лема Данієльсона-Ланкзоса [2]. Вона підходить для здійснення як прямого ШПФ, так і зворотного.
У масиві даних спершу слід справити нумерацію елементів у двійковому вигляді, а потім пересортувати масив, замінюючи кожен елемент елементом із зворотним двійковим індексом. Отримана в Внаслідок таких перестановок послідовніст...
