нобудування
Виробництво
Енергетика
Машинобудування
7
21
72
100
12
15
123
150
Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве споживання енергетичної галузі збільшиться вдвічі, а машинобудівної зберегтися на колишньому рівні.
Рішення: Маємо
В
За формулою (2.15) знаходимо коефіцієнти прямих витрат:
В
тобто матриця прямих витрат має невід'ємні елементи і задовольняє критерію продуктивності:
В
Тому для будь-якого вектора кінцевого продукту Y можна знайти необхідний обсяг валового випуску X за формулою (2.20):
В
Знайдемо матрицю повних витрат
:
В
Так як по формулою (1.14)
В
За умові вектор кінцевого продукту Тоді за формулою (2.17) отримуємо вектор валового випуску:
В
тобто валовий випуск в енергетичній галузі треба збільшити до 179,0 ум. од., а в машинобудівної - до 160,5 ум. од. br/>
2. Лінійна модель обміну
У Як приклад математичної моделі економічного процесу, що призводить поняттю власного вектора і власного значення матриці, розглянемо лінійну модель обміну (модель міжнародної торгівлі).
Нехай мається n країн національний дохід кожної з яких дорівнює відповідно Позначимо коефіцієнтами частку національного доходу, яку країна витрачає на купівлю товарів у країни. Будемо вважати, що весь національний дохід витрачається на закупівлю товарів або всередині країни, або на імпорт з інших країн, тобто
В
Розглянемо матрицю
,
яка отримала назву структурної матриці торгівлі. Відповідно до (3.32) сума елементів будь-якого стовпця матриці A дорівнює 1.
Для будь-якої країни (i = 1,2, ..., n) виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі складе:
В
Для збалансованої торгівлі необхідна бездефіцитність торгівлі кожної країни, тобто виручка від торгівлі кожної країни повинна бути не менше її національного доходу:
В
Якщо вважати, що те отримуємо систему нерівностей:
(3.33)
Склавши всі нерівності системи (3.33), отримаємо після угруповання
В
Враховуючи (3.32), вирази в дужках дорівнюють одиниці, і ми приходимо до суперечливого нерівності
В
Таким чином, нерівність неможливо, і умова приймає вид З економічної точки зору це зрозуміло, оскільки всі країни не можуть одночасно отримувати прибуток.
Вводячи вектор національних доходів країн, отримаємо матричне рівняння
(3.34)
У якому вектор x записаний у вигляді вектор шпальти, тобто завдання звелася до відшукання власного вектора матриці A, що відповідає власному значенню
Приклад структурна матриця торгівлі трьох країн.
Структурна матриця торгівлі трьох країн має вид:
.
Знайти співвідношення національних доходів країн для збалансованої торгівлі.
Рішення. Знаходимо власний вектор x, відповідає власному значенню, вирішивши рівняння або систему
В
Методом Гаусса. Знайдемо, тобто p> Отриманий результат означає, що збалансованість торгівлі трьох країн досягається при векторі національних доходів тобто при співвідношенні національних доходів країн 3/2: 2: 1 або 3: 4: 2.
