(1)
де m - маса частинки (наприклад, електрона);
h - постійна Планка.
Рівняння (1) відноситься до вільного руху частинок. Якщо ж частка рухається в силовому полі, то пов'язані з нею хвилі описуються так званою хвильової функцією . Загальний вигляд цієї функції визначив Шредінгер (1926). Знайдемо хвильову функцію наступним шляхом. Рівняння, що характеризує напруженість поля Е а плоскої монохроматичної хвилі світла, можна записати у вигляді:
, (2)
де Е а 0 - Амплітуда хвилі;
ОЅ - частота коливань;
t - час;
О» - довжина хвилі;
х - координата в напрямку поширення хвилі.
Так як другі похідні від рівняння плоскої хвилі (2), взяті за часом t і координаті х , рівні відповідно:
, (3)
, (4)
то
Підставляючи О» = с/V (с - швидкість світла), отримуємо хвильове рівняння для плоскої світлової хвилі:
, (5)
Наступні перетворення грунтуються на припущеннях, що поширення хвиль де Бройля описується аналогічним рівнянням, і що ці хвилі стають стаціонарними та сферичними. Спочатку уявімо, що за рівнянням (5) змінюється значення нової функції П€ від координат (П‡, y, z), що має сенс амплітуди деякого коливального процесу. Тоді, замінюючи Е а на П€, отримаємо хвильове рівняння у формі:
, (6)
Після виключення t (за допомогою (3)) хвильове рівняння прийме вигляд:
, (7)
де П€ - так звана хвильова функція - величина, періодично змінюється за законом гармонійного руху;
ОЅ 2 - Оператор Лапласа, що означає, що над функцією проводиться наступне дію:
.
Будемо вважати, що хвильове рівняння (7) описує рух частинки. Тоді О» - довжина фазової хвилі , а П€ - амплітуда фазової хвилі в будь довільно взятої точці П‡, y, z, що характеризує місце розташування частинки. Довжину і амплітуду фазової хвилі можна пов'язати з масою і енергією частинки. Якщо частка рухається в потенційному полі, то її повна енергія Е складається з кінетичної енергії Е до = mV 2 /2 і потенційної енергії Е п . Звідси
ВЅ mV 2 - Е - Е п або m 2 V 2 = 2m (E - E п ). p> Враховуючи співвідношення де Бройля, запишемо
m 2 V 2 = h 2 /О» 2 і О» 2 = h 2 /2m (E - E п )
і представимо хвильове рівняння в наступному вигляді:
(8)
У цій формі хвильове рівняння називається рівнянням Шредінгера . Воно є основним рівнянням квантової механіки.
Рівняння Шредінгера - диференціальне рівняння в приватних похідних і може мати безліч рішень. Однак фізичний зміст мають лише ті П€-фу...
