Зміст
Введення
1. Метод поширюються хвиль
1.1 Формула Даламбера
1.2 Неоднорідне рівняння
2. Задача Коші. Двовимірне хвильове рівняння
3. Теорема стійкості рішення задачі Коші
4. Формули хвильового рівняння
4.1 Формула Пуассона
4.2 Формула Кірхгофа
Висновок
Список літератури
Введення
Коли мова заходить про побудову математичної моделі якогось явища, що належить до математики, фізики, соціології, економіці чи іншій області знань, постає питання про правильній побудові системи диференціальних рівнянь і її рішення, виходячи з початкових або граничних умов.
Математична фізика (МФ) розвивалася з часів Ньютона, паралельно розвитку фізики і математики. Наприкінці 17 в. Було відкрито диференціальне та інтегральне числення і сформульовані основні закони класичної механіки і закон всесвітнього тяжіння. У 18 в. Методи МФ почали формуватися при вивченні коливань струн і стрижнів, а так же завдань, пов'язаних з акустикою і гідродинамікою. У 19 в. Ідеї ??МФ отримали новий розвиток у зв'язку із завданнями теплопровідності, дифузії, пружності, оптики, електродинаміки. У 20 в. в МФ включаються завдання квантової фізики і теорії відносності, а так само нові проблеми газової динаміки і перенесення частинок.
У цьому рефераті розглянуто рівняння гіперболічного типу - хвильове рівняння. Хвильове рівняння в математиці lt; https: //ru.wikipedia/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8 % D0% BA% D0% B0 gt;- Лінійне гіперболічне lt;http://ru.wikipedia/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8Fgt; диференціальне рівняння в приватних похідних lt;http://ru.wikipedia/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85gt;, задаюче малі поперечні коливання тонкої мембрани lt;http://ru.wikipedia/w/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%BC%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0amp;action=editamp;redlink=1gt; або струни lt;http://ru.wikipedia/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BD%D0%B0_(%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B0)gt;. До дослідження цього рівняння призводять розгляд процесів поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливань вала, коливань газу і т.д. Наведено формули Даламбера, Пуассона, Кірхгофа і розглянуто рішення задачі Коші.
хвильове рівняння гіперболічний формула
1. Метод поширюються хвиль
У математичній фізиці під струною розуміють гнучку, пружну нитку. Напруги, що у струні в любий момент часу спрямовані по дотичній до її профілю. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0x від 0 до l.
Припустимо, що кінці струни закріплені в точках x=0 і x=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім надати самій собі або, не відхиляючи струни, надати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і надати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть здійснювати рухи - кажуть, струна почне коливатися.
Завдання полягає у визначенні форми струни в любий момент часу і визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.
1.1 Формула Даламбера
Вивчення методів побудови розв'язків крайових задач для рівнянь гіперболічного типу ми починаємо з задачі з початковими умовами для необмеженої струни (задача Коші).
u tt - a 2 u xx =0, - ? lt; х lt;?, t gt; 0 (1)
, t gt; 0 (2)
Перетворимо це рівняння до канонічного виду, який містить змішану похідну.
Рівняння характеристик: dx 2 - a 2 dt 2=0 розпадається на два рівняння:
dx - adt =0, dx + adt =0
інтегралами яких є прямі
- at=c 1 , x ...
