= 0) до А н А м (коли w м t = 0 0 , cos (w м t) = 1). Член А м cos (w м t) Г— А н є амплітудою модульованих коливань і прямо залежить від миттєвого значення модулюючим синусоїди. Рівняння (3) може бути перетворено до виду
(4а)
Це перетворення засноване на тригонометричному тотожність
(5)
Рівняння (4a) являє собою сигнал, що складається з двох коливань з частотами w 1 = w н + w м і w 2 = w н -w м і амплітудами А н А м /2. Переписуючи вираз для модульованого коливання (4a), отримаємо
(4б)
w 1 і w 2 називаються бічними смугами частот, так як w м зазвичай є смугою частот, а не одиночної частотою. Отже, w 1 і w 2 представляють собою дві смуги частот - вище і нижче несучої (рис. 1, б), тобто верхню і нижню бічну смугу відповідно. Вся інформація, яку необхідно передати, міститься в цих бічних смугах частот.
Рівняння (4б) було отримано для особливого випадку, коли модульований сигнал був результатом прямого перемноження е н на е м . В результаті рівняння (4б) не містить компонента на частоті несучої, тобто частота несучої повністю пригнічена. Такий тип модуляції з пригніченою несучої іноді навмисно проектується в системах зв'язку, оскільки це веде до зниження випромінюваної потужності. У більшості таких систем випромінюється деяка частина потужності на частоті несучої, дозволяючи тим самим приймального пристрою налаштовуватися на цю частоту. Можна також передавати лише одну бічну смугу, так як вона містить всю істотну інформацію про модулирующем сигналі. Приймальне пристрій потім відновлює е м по модуляції однієї бічної смуги.
Повне вираз, представляє амплітудно-модульоване коливання в загальному вигляді, має вигляд
е н е м = А н cos (w н t) + А м cos (w н t) cos (w м t) (6а)
Це вираз описує як неподавленной несучу (перший член у правій частини рівняння), так і твір, тобто модуляцію (другий член праворуч). Рівняння (6a) можна переписати у вигляді
е н е м = [А н + А м cos (w м t)] cos (w н t) = А нм cos (w н t) (6б)
Останнє вираз показує, як амплітуда несучої змінюється відповідно до миттєвими значеннями модулюючого коливання. Амплітуда модульованого сигналу А нм складається з двох частин: А н - амплітуди немодульованою несучої і А м cos (w м t) - миттєвих значень модулюючого коливання:
А нм = А н + А м cos (w м t) (7)
Ставлення А м до А н визначає ступінь модуляції. Для А м = А н значення А нм досягає нуля при cos (w м t) = -1 ( w м t = 180 В°) і А нм = 2А н при cos (w м t) = 1 (w м t = 0 В°). Амплітуда модульованої хвилі змінюється від нуля до подвоєного значення амплітуди несучої. Ставлення
m = А м /А н (8)
визначає коефіцієнт модуляції. Для запобігання спотворень переданої інформації - модульованого сигналу - значення m має бути в межах від нуля до одиниці: 0 ВЈ m ВЈ 1. Це відповідає А м ВЈ А н . (Для m = 0 А м = 0, тобто немає модулюючого сигналу.) Рівняння (6a) може бути переписано з введенням m:
е н е м = А н cos (w н t) [1 + m Г— cos (w м t) ] (6в)
На рис. 2, а показана форма модульованих коливань і коефіцієнт модуляції m виражений через максимальне і мінімальне значення її амплітуди (пікового і вузлового значень). Рис. 2, б дає уявлення про спектр модульованих коливань, що може бути виражений перетворенням рівняння (6):
(6г)
несуча верхня бічна смуга нижня бічна смуга
В
На рис. 2, в показаний результат модуляції з коефіцієнтом m, що перевищує 100%: m> 1. <В
У таблиці на рис. 3 наведені амплітуда і потужність для кожної з трьох частотних компонент модульованого коливання.
Кутова частота
Амплітуда
Відносна амплітуда
Відносна потужність
Несуча
w н
А н
1
