ьше того, послідовним диференціюванням по параметру z легко переконатися, що Г ( z ) - голоморфних функцій при R ( z )> 0. Однак, непридатність інтегрального представлення (2.3) при R ( z ) 0 значить, що там не визначена сама гамма-функція - рішення рівняння (2.1).
Розглянемо поведінка Г (z) в околиці нуля. Для цього представимо:
В
де - голоморфних функція в околиці z = 0 . З формули (2.1) випливає:
В
Тоді
В
тобто Г (z) має полюс першого порядку при z = 0. p> Також легко отримати:
В
тобто в околиці точки функція Г ( z ) також має полюс першого порядку. p> Таким же чином можна отримати формулу:
В
(2.4)
З цієї формули випливає, що точки z = 0, -1, -2, ... - Прості полюси гамма-функції та інших полюсів на речовій осі ця функція не має. Неважко вирахувати вирахування в точці z =-n, n = 0,1,2, ...:
В В
2.4 Представлення Ганкеля через інтеграл по петлі
З'ясуємо, чи має гамма-функція нулі. Для цього розглянемо функцію
В
Полюси цієї функції і є нулі функції Г (z). p> Різницеве рівняння для I ( z ) легко отримати, скориставшись виразом для Г ( z ): <В
Вираз для вирішення цього рівняння у вигляді інтеграла можна отримати так само, як було отримано інтегральне вираз для гамма-функції - через перетворення Лапласа. Нижче наведені вичісленія.ні такі ж, як і в п.1). ії пЃ‡ Тегран будуть точки
В
або
В
Після поділу змінних отримаємо:
В
Проінтегрував отримуємо: br/>
або
Перехід до прообразу Лапласа дає:
В
В отриманому інтегралі зробимо заміну змінної інтегрування:
тоді
Тут важливо помітити, що подинтегральная функція при нецілих значеннях z має точку розгалуження t = 0. На комплексній площині змінної t проведемо розріз по негативній речовій півосі. Інтеграл по цій півосі представимо як суму інтеграла по верхньому березі цього розрізу від до 0 і інтеграла від 0 до по нижньому березі розрізу. Щоб інтеграл не проходив через точку розгалуження, влаштуємо навколо неї петлю. br/>В
Рис1: Петля в інтегральному поданні Ганкеля.
У результаті отримаємо:
В
Щоб з'ясувати значення постійної, згадаємо, що I (1) = 1, з іншого боку:
В
Інтегральне подання
В
(2.5)
називається поданням Ганкеля по петлі. p> Легко бачити, що функція 1/Г ( z ) не має полюсів в комплексній площині, отже, гамма-функція не має нулів. p> За допомогою цього інтегрального подання можна отримати формулу для твору гамма-функцій. Для цього в інтегралі зробимо заміну змінної, тоді:
В В
тобто
В
2.5 Гранична форма Ейлера
Гамма-функцію можна представити у вигляді нескінченного твори. Це можна помітити, якщо в интеграле (2.3) представити
В
Тоді інтегральне представлення гамма-функції:
В
У ці...
