ця при плоскому вигині
Попередньо врівноваживши кільце потоком дотичних сил (рисунок 2.1), знайти:
силові фактори M, Q, N методом сполучення ділянок кільця;
переміщення v і w методом розкладання навантаження в ряд;
побудувати епюри M, Q, N, v, w;
визначити форму деформованого кільця і ​​розміри поперечного перерізу шпангоута.
В
Малюнок 2.1 - Розрахункова схема кільця,,,
2.1 Урівноваження кільця
Для врівноваження зовнішньої погонной радіального навантаження, рівномірно розподіленої в секторі, визначимо значення коефіцієнтів у виразі для дотичних погонних сил:
. (2.1)
При врівноважені кільця доцільно позитивний напрямок для зрівноважувальних дотичних сил пов'язувати з позитивним напрямом відліку кута, так як в цьому випадку не потрібно пам'ятати про те, відповідає чи ні позитивний напрямок сил прийнятому для них позитивному напрямку при виведенні диференціальних рівнянь вигину кільця.
Складемо рівняння рівноваги кільця, спроектувавши всі сили на напрями осей y і z і взявши суму моментів сил відносно центра кільця:
на вісь y
;
;
В
;;
на вісь z:
;
;
В
;
;
щодо точки О:
;
В
;.
. (2.2)
2.2 Визначення внутрішніх силових факторів
Скористаємося способом безпосереднього інтегрування диференціальних рівнянь рівноваги для кільця [1, с. 105]. Внаслідок має місце симетрії обмежимося розглядом половини кільця (). За характером навантажування тут виділяються дві ділянки.
Рівняння рівноваги для першої ділянки ():
(2.3)
Перед останнім доданком у третьому рівнянні системи (2.3) стоїть знак В«-В», оскільки погонні нормальні сили, спрямовані в бік, протилежний прийнятому при виведенні цих рівнянь позитивному напрямку для.
Рівняння рівноваги для другої ділянки ():
(2.4)
Розглянемо рішення першого диференціального рівняння системи (2.3).
, (2.5)
де - приватне рішення.
Знайдемо це приватне рішення. Для простоти запису приймемо:
;.
Отримали рівняння:
. (2.6)
Складаємо характеристичне рівняння:
;.
Приватне рішення має вид:
. (2.7)
Визначимо константи і, для чого знайдемо:
;
В
Підставивши і в рівняння (2.6):
;
;
В
отримаємо:
. (2.8)
Остаточно маємо:
;
В В
Для другої системи диференціальних рівнянь рішення проводиться аналогічно.
(2.9)
(2.10)
Для визначення невідомих констант інтегрування скористаємося граничними умовами і умовами сполучення ділянок кільця:
при: 1);
при: 2);
при: 3); (2.11)
4);
5).
Перші дві умови з (2.11) справедливі, тому що при симетричному навантаженні кососімметрічние фактори на осі симетрії дорівнюють нулю.
Для вирішення застосуємо прикладної обчислювальний пакет MathCAD (Додаток 2). Після того як невідомі константи знайдені, отримаємо дві системи рівнянь:
перша система ():
(2.12)
друга система ():
(2.13)
Для побудови епюр безрозмірних силових факторів
,,
скористаємося пакетом MathCAD (додаток 3). Результати наведені у таблиці 2.1 і представлені на малюнку 2.2.
Як видно з малюнка 2.2 небезпечними є розтину при (діє максимальний згинальний момент, нормальна стискаючий сила, а перерізуюча сила) і при (,,).
2.3 Визначення переміщень за допомогою тригонометричних рядів
Зовнішню навантаження, прикладену до кільця, представимо у вигляді ряду:
. (2.14)
Коефіцієнти ряду (2.14) визначаються при інтегруванні лівої і правої його частин у межах від 0 до:
Таблиця 2.1 - Безрозмірні силові фактори і переміщення для кільця
П†, В°
Q
M
N
v
w
0.00
0.0000
0.1271
-0.3579
0.0000
-0.0346
10.00
-0.1118
0.1173
-0.3628
0.0059
-0.0322
20.00
-0.2218
0.0882
-0.3776
0.0110
-0.0253
30.00
-0.3285
...
