іми. Тоді вираз для оцінки первинного сигналу буде мати наступний вигляд:
. (6)
Помилка інтерполяційної обробки в цьому випадку дорівнює:
. (7)
При цьому оцінка повинна бути отримана на деякому інтервалі інтерполяції з урахуванням вибірок, розташованих на кінцевому інтервалі обробки. Інтервал обробки повинен послідовно переміщатися в межах інтервалу спостереження (малюнок 2).
В
Малюнок 2
Таким чином, функція повинна бути відновлена ​​для всіх значень часу, що лежать всередині інтервалу інтерполяції, шляхом використання вибірок в моменти часу. Це можливо тому, що існує кореляційна залежність між значенням первинного сигналу, моментами часу і. Інтерполяція білого шуму неможлива, тому його кореляційна функція є дельта - функція.
Теоретично необхідно враховувати всі відліки на інтервалі спостереження, тобто вважати =. Але при цьому результати інтерполяції можуть бути отримані через час, і для реалізації потрібно пристрій з великою пам'яттю. З видаленням точки опитування від інтервалу інтерполяції зменшуються кореляційні зв'язки та їх облік дає малий внесок у помилку інтерполяції. Тому мають сенс враховувати тільки ті відліки, вибірки яких коррелірованни з функцією на інтервалі інтерполяції, з коефіцієнтами кореляції К (П„) = 0.05 - 0.2. Конкретні значення К (П„) визначаються вимогами до точності інтерполяції.
2. Фізична трактування процесів інтерполяції сигналів
Основне математичне співвідношення інтерполяційної обробки:
, (8)
можна проілюструвати наступним чином (малюнок 3).
У якості інтерполяційної функції в цьому прикладі використовується функція. Інтервали інтерполяції та обробки повинні послідовно зрушуватися по часу. Операцію інтерполяції можна виконати за допомогою лінійного фільтра з імпульсною характеристикою виду:
. (9)
В
Малюнок 3
Для докази цього твердження позначимо сигнал на вході і виході лінійного фільтра через і (малюнок 4):
В
Малюнок 4
Уявімо сигнал на вході лінійного фільтра у вигляді послідовності короткочасних імпульсів, площа яких дорівнює відповідним вибірках
. (10)
З властивостей лінійних систем слід, що сигнал на виході дорівнює:
(11)
Вираз (11) виходить з урахуванням фільтруючого властивості Оґ-функції. Якщо імпульсна характеристика лінійного фільтра задовольняє висловом (9), то співвідношення (11) переходить у формулу для інтерполяційної обробки:
. (12)
Ідеальне відновлення функції на виході лінійного фільтра неможливо, тому що:
- відгук на виході лінійного фільтра не може з'явитися раніше відповідної вибірки на вході;
- число вибірок не дорівнює нескінченності;
- АЧХ фільтра відрізняється від ідеальної.
3. Завдання ідеальної інтерполяції
У загальному випадку формула інтерполяції має вигляд:
, (13)
- оцінка значення i-ої вибірки, - відновлений первинний сигнал,
.
Інтерполяція можлива в тому випадку, якщо в сигналі маються кореляційні зв'язки. Може бути поставлено завдання оптимального вибору виду функції, при якій помилка інтерполяції мінімальна.
Розглянемо завдання ідеальної інтерполяції сигналу при припущенні, що, тобто відсутні зовнішні шуми і помилки системи.
Нехай безперервний первинний сигнал описується кореляційної
функцією . Потрібно визначити форму інтерполюючої функції, що забезпечує при заданих значеннях коефіцієнта кореляції мінімум СКО
. (14)
Можна показати, що в цьому випадку оптимальна інтерполююча функція має вигляд:
, (15)
де - Вагові коефіцієнти, однозначно пов'язані зі значеннями коефіцієнтів кореляції в точках,.
Т.ч., оптимальна інтерполююча функція може бути визначена як зважена сума функцій часу рівних кореляційної функції первинного сигналу. Як наслідок цієї теорії може бать доведена наступна теорема:
Якщо на інтервалі інтерполяції кореляційний функція і її зважена сума добре апроксимуються поліномом, то використання цього наближення забезпечить среднеквадратическое наближення близьке до ідеального. Тобто потрібно хороша апроксимація не всієї кореляційної функції, а лише її частини, припадає на інтервал інтерполяції (малюнок 5).
В
Малюнок 5
Чим менше, тим точніше можлива апроксимація у вигляді многочлена і тим простіше можуть бути апроксимуючі поліноми. Проілюструємо цю теорему для сигналу з прямокутним спектром (Малюнок 6):
В
Малюнок 6
Відомо, що в цьому випадку відповідно до теореми
В.А. Котельникова можливе розкладання первинного сигналу в ряд:
, (16)
де - Частота опитування. У точк...
