ах інтерполююча функція дорівнює:
. (17)
Зіставимо цей результат з виразом для ідеальної інтерполюючої функції:
. (18)
Щоб ці формули збіглися, необхідно щоб при, а в разі, тобто щоб кореляційний функція мала вигляд:
. (19)
Такий функцією кореляції володіє сигнал з прямокутним спектром, а умова при призводить до вимоги, щоб частота опитування.
Це співвідношення не може бути використано на практиці з наступних причин:
1. Сигналу з ідеальним прямокутним спектром не існує.
2. Число вибірок.
На практиці при поданні регулярними вибірками частота опитування вибирається виходячи зі співвідношення
Г¦, (20)
де визначається формою спектру сигналу, а Г¦ - коефіцієнт запасу, що залежить від виду інтерполюються поліномів і необхідних значень показника вірності.
4. Інтерполяція алгебраїчними поліномами
цифровий кодування алгебраїчний поліном
Як було показано вище, для первинних сигналів з різними кореляційними функціями необхідно використовувати різні інтерполюються функції. Такий підхід не прийнятний для практики, тому що вимагає виконання великого обсягу попередніх робіт для визначення виду інтерполюються функцій. Для подолання цих утруднень можливі два шляхи:
1. Використання для групи сигналів з близькими кореляційними функціями інтерполюючої функції одного виду.
2. Застосування в якості інтерполюються функцій добре програмованих функцій з вибором частоти опитування, що забезпечують у всіх випадках необхідну вірність.
Другий шлях найбільш простий, але призводить до завищених частотах опитування і, отже, до збільшення завантаження радіолінії. Найбільш раціональним є комбіноване використання обох шляхів.
Під багатьох випадках в якості інтерполюються шляхів використовуються алгебраїчні поліноми низьких ступенів, зокрема поліноми Лагранжа. Інтерполююча функція за Лагранжем записується в наступному вигляді:
(21)
де - Символ твори, в якому відсутні сомножители прі. Неважко переконатися, що при і при . p> При інтерполяції за Лагранжем потрібно певним чином вибрати інтервал обробки.
1) Число точок опитування n парне (малюнок 7).
В
Малюнок 7
2) Число точок опитування n непарне (малюнок 8).
В
Малюнок 8
Запишемо момент часу, в якому шукається інтерполяційна оцінка у вигляді
, (22)
де - Точка відліку, - період опитування, - безрозмірний час, яке може безперервно змінюватися в межах
, при (23)
, при, (24)
На практиці інтерполяція за Лагранжем використовується при n = 1, 2, 3:
1. Ступінчаста інтерполяція (поліноми нульової ступеня) (малюнок 9).
У цьому випадку n = 1 і для інтерполяції використовується лише одна вибірка
,, і . br/>В
Малюнок 9
2. Лінійна інтерполяція (поліноми першого ступеня) (малюнок 10).
При цьому,, і інтерполюються функції мають вигляд
,.
В
Малюнок 10
В
3. Квадратична інтерполяція (квадратична інтерполяція) (малюнок 11).
При цьому,, і інтерполюються функції мають вигляд
,,.
В
Малюнок 11
Можна показати, що верхні оцінки відносних помилок у цьому випадку рівні
,,,
де - Гранична частота спектру сигналу, - частота опитування.
При і частота опитування
,,.
При відновленні функції за відліком зазвичай виходить плавна крива, тому, можна для практичних розрахунків вибрати частоту опитування за формулою.
5. Визначення частоти опитування
Визначимо частоту опитування первинного сигналу при середньому квадратичному наближенні алгебраїчними поліномами. Використовуємо показник вірності оцінки у формі інтегральної середньої квадратичної помилки
. (26)
Більше зручно використовувати наведений показник вірності:
. (27)
Застосуємо цю формулу для визначення частоти опитування чотирьох моделей первинного сигналу:
Модель 1. Сигнал з обмеженим рівномірним спектром (малюнок 12). br/>В
Малюнок 12
Застосовуючи косинус перетворення Фур'є від, отримаємо функцію кореляції цього сигналу:
. (28)
Модель 2. Сигнал з трикутним спектром (малюнок 13). p>, . br/>В
Малюнок 13
Ефективна ширина спектра в цьому випадку має вигляд
,
а функція кореляції дорівнює
. (29)
Модель 3. Сигнал марковского типу (малюнок 14). p> Енергетичний спектр цього сигналу описується співвідношенням
,
а функція кореляції дорівнює
. (30)
В
Малюнок 14
Модель 4. Сиг...
