не часткове циліндричне тіло прямим циліндром з тим же підставою і висотою, рівною. В результаті отримаємо n-ступеневу тіло, обсяг якого дорівнює
Беручи об'єм V даного циліндричного тіла приблизно рівним обсягом побудованого n-ступеневого тіла, будемо вважати, що Vn тим точніше виражає V, чим більше n і чим менше кожна з часткових областей. Переходячи до межі при ми будемо вимагати, щоб не тільки площа кожної часткової області прагнула до нуля, але щоб прагнули до нуля всі її розміри. Якщо назвати діаметром області найбільша відстань між точками її кордону (Наприклад, діаметр прямокутника дорівнює його діагоналі, діаметр еліпса-його великої осі. Для кола наведене визначення діаметра рівносильно звичайному.), То висловлене вимога буде означати, що кожен з діаметрів часткових областей повинен прагнути до нуля; при цьому самі області будуть стягуватися в точку (Якщо відомо тільки, що площа області прагне до нуля, то ця область може і не стягуватися в точку. Наприклад, площа прямокутника з постійним підставою і висотою, що прагне до нуля, прагне до нуля , а прямокутник стягується до свого основи, тобто до відрізка).
У відповідності зі сказаним ми приймаємо шуканий об'єм V рівним межі, до якого прагне Vn при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей (при цьому):
До відшукання межі подібних сум для функцій двох змінних призводять найрізноманітніші завдання, а не тільки завдання про обсяг.
Розглянемо це питання в загальному вигляді. Нехай - будь-яка функція двох змінних (не обов'язково позитивна), безперервна в деякій області D, обмеженої замкнутою лінією. Розіб'ємо область D на часткові, як зазначено вище, виберемо в кожній часткової області по довільній точці і складемо суму
(*)
де - значення функції в точці; і, - площа часткової області.
Сума (*) називається n-й інтегральною сумою для функції в області D, яка відповідає даному разбиению цій галузі на n часткових областей.
Визначення. Подвійним інтегралом від функції по області D називається межа, до якого прагне n-я інтегральна сума (*) при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей.
В
Записується це так:
Читається: "подвійний інтеграл від на по області D". Вираз, що показує вид сумміруемих доданків, називається подинтегральних виразом; функція називається подинтегральной функцією, - елементом площі, область D - областю інтегрування, нарешті, змінні x і у називаються змінними інтегрування. p> Таким чином, можна сказати, що обсяг циліндричного тіла, обмеженого площиною Oxy, поверхнею і циліндричною поверхнею з твірної, паралельної осі Oz, виражається подвійним інтегралом від функції, узятим по області, що є підставою циліндричного тіла:
.
Аналогічно теоремі існування звичайного інтеграла має місце наступна теорема.
Теорема існування подвійного інтеграла.
Якщо функція неперервна в області D, об...
