Міністерство загальної та професійної освіти Р.Ф.
Іркутський державний технічний університет.
В
Кафедра вищої математики.
В В В
Реферат.
В
Застосування подвійних інтегралів до задач механіки і геометрії.
В В В В В В В В В
Виконала: студентка
групи ТЕ-97-1
Мелкоступова С.С.
В
Перевірив викладач
кафедри вищої математики
Сєдих Є.І.
В В В В В В В В В
Іркутськ 1998.
В В В В В В
Зміст.
1.Обсяг циліндричного тіла. Подвійний інтеграл. p> 2. Обчислення подвійних інтегралів. p> a) приклади.
3.Пріложенія подвійних інтегралів до задач механіки.
а) маса плоскої пластинки змінної щільності.
б) статичні моменти і центр ваги пластинки.
в) моменти інерції пластинки.
4.Вичісленіе площ і обсягів за допомогою подвійних інтегралів.
а) Обсяг.
б) Обчислення площі плоскої області.
5.Вичісленіе площі поверхні.
а) Приклади.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
1.Обсяг циліндричного тіла. Подвійний інтеграл. p> Циліндричним тілом називається тіло, обмежене площиною Oxy, поверхнею, з якою будь-яка пряма, паралельна осі Oz, перетинається не більше ніж в одній точці, і циліндричною поверхнею, утворює якої паралельна осі Oz.
Область D, висікали в площині Oxy циліндричною поверхнею, називається підставою циліндричного тіла (див. рис.1). У приватних випадках бічна циліндрична поверхня може і відсутні; прикладом тому служить тіло, обмежене площиною Oxy і верхньої півсферою. p>
Рис. 1
Зазвичай тіло можна скласти з деякого числа циліндричних тіл і визначити шуканий об'єкт як суму обсягів циліндричних тіл, складових це тіло.
Насамперед нагадаємо два принципи, з яких ми виходимо при визначенні об'єму тіла:
якщо розбити тіло на частини, то його обсяг буде дорівнює сумі обсягів усіх частин; обсяг прямого циліндра, тобто циліндричного тіла, обмеженого площиною, паралельній площині Oxy, дорівнює площі підстави, помноженої на висоту тіла.
Нехай є рівняння поверхні, що обмежує циліндричне тіло. Будемо вважати функцію безперервної в області D і спочатку припустимо, що поверхня цілком лежить над площиною Oxy, тобто що всюди в області D.
Рис. 2
Позначимо шуканий обсяг циліндричного тіла через V, Розіб'ємо підставу циліндричного тіла - область D - на деяке число n областей довільної форми; будемо називати їх частковими областями. Пронумерувавши часткові області в якому-небудь порядку, позначимо їх через а їх площі - через. Через кордон кожної часткової області проведемо циліндричну поверхню з утворюючої, паралельної осі Oz. Ці циліндричні поверхні розріжуть поверхню на n шматків, відповідних n частковим областям. Таким чином, циліндричне тіло виявиться розбитим на n часткових циліндричних тіл (см.ріс.2). Виберемо в кожній часткової області довільну точку та замінимо відповід...
