меженої замкнутою лінією, то її n-я інтегральна сума прагне до межі при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей. Ця межа, тобто подвійний інтеграл, не залежить від способу розбиття області D на часткові області і від вибору в них точок Pi .
Подвійний інтеграл, зрозуміло, являє собою число, залежне тільки від подинтегральной функції і області інтегрування і зовсім не залежне від позначень змінних інтегрування, так що, наприклад,
.
Далі ми переконаємося а тому, що обчислення подвійного інтеграла може бути вироблено за допомогою двох звичайних інтегрований.
В В
2.Вичісленіе подвійних інтегралів.
В
При обчисленні подвійного інтеграла елемент площі нам зручно представити в іншому вигляді. Будемо розбивати область інтегрування D в площині Oxy на часткові області за допомогою двох систем координатних ліній: x = const, y = const. Цими лініями служать прямі, паралельні відповідно осі Oy і осі Ox, а частковими областями - прямокутники зі сторонами, паралельними осям координат. Ясно, що площа кожної часткової області буде дорівнює добутку відповідних і. Тому елемент площі ми запишемо у вигляді тобто елемент площі в декартових координатах є твором диференціалів незалежних змінних. Ми маємо
. (*) p> При обчисленні подвійного інтеграла (*) ми будемо спиратися на той факт, що він виражає об'єм V циліндричного тіла з основою D, обмеженого поверхнею. Нагадаємо, що ми вже займалися завданням про обсяг тіла, коли розглядали застосування певного інтеграла до задач геометрії і отримали формулу
(**)
Рис.3
де S (х) - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярної до осі абсцис, а й - рівняння площин, обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу до обчислення подвійного інтеграла
Припустимо спочатку, що область інтегрування D задовольняє наступній умові: будь-яка пряма, паралельна осі Ox або Oy, перетинає межу області не більше ніж у двох точках. Відповідне циліндричне тіло зображено на рис.3
Область D укладемо всередину прямокутника
сторони якого стосуються кордону області в точках А, В, С, Е. Інтервал [а, b] є ортогональною проекцією області D на вісь Ох, а інтервал [c, d] - ортогональної проекцією області D на вісь Oy. На рис.5 область D показана в площині Оху. p> Точками A і C межа розбивається на дві лінії: ABC і AEC, кожна з яких перетинається з прямою, паралельною осі Oy, в одній точці. Тому, їх рівняння можна записати у формі, дозволеній щодо y:
(ABC),
(AEC).
Аналогічно точками В і Е межа розбивається на лінії ВАЕ і ВСЕ, рівняння яких можна записати так:
(BAE),
(BCE).
Рис.5
Розсічений розглядається циліндричне тіло довільної площиною, паралельній площині Oyz, тобто x = const, (рис). У перетині ми отримаємо криволінійну трапецію PMNR, площа якої виражається інтегралом від функції, що розглядається як функція о...
