декартовій системі координат, має вигляд (Мал. 25):
(x ВІ + y ВІ) ВІ - 2f (x ВІ - y ВІ) = d4 - f4, (34)
де f = const - межфокусное відстань;
0
У полярних координатах рівняння Кассіні має вигляд:
r ВІ = f ВІ cos 2j В± SQR (f4 cos (2j) ВІ + (d4 - F4)). (35)
Залежно від співвідношення параметрів (f) і (d) слід розглядати чотири основні форми овалів, використовуваних для моделювання геометричної форми м'яких оболонок.
При (d> f) - криві мають форми замкнутих, симетричних відносно координатних осей ліній овалів, прагнуть до окружності, кривизна в точках (G) і (E) позитивна. При (d = F SQR (2) - граничний овал з нульовою кривизною, в точках (С1 ') і (С2') поділяє сімейство овалів позитивної та негативної гаусових кривизни. При (D = f) - граничний овал в точці (О) нерозривності кривизни форми кривої. При (D
Звідси, при різних значеннях геометричного параметра (d) можна отримувати різні за формою криві, обертання яких навколо осей симетрії приведуть до поверхонь обертання, традиційним для диференціальної геометрії (сфері, овалоїд, циліндру, конусу, тороід). (Див. рис.24). Всі ці поверхні описуються перетвореним рівнянням (34) кривих Кассіні в просторі:
(x ВІ + y ВІ = z ВІ) ВІ - 2f ВІ (x ВІ + y ВІ - z ВІ) - (d4 - f4) = 0. (36)
Отже, поверхні обертання плоских кривих Кассіні можуть представляти геометричну модель м'яких оболонок, а просторове рівняння (36) є математичною моделлю м'яких оболонок змінюваної форми. Причому, якщо рівняння (36) моделює область бесскладчатих поверхонь, то рівняння (35) у полярних координатах - позамежну область деформування м'яких оболонок (Рис.26)
Стан бесскладчатості напруженої оболочечной конструкції залежить від співвідношення розмірів її осей. Розглянемо їх значення в залежності від параметрів (f) і (d). p> За умови (d> f) криві мають поздовжню вісь (2 а), рівну
a = SQR ((d ВІ + f ВІ), (37)
а найбільший поперечний розмір:
при (d> f SQR (2) b = SQR ((d ВІ - f ВІ)) , (38)
при (f ВЈ d
При (f ВЈ d
a = SQR ((d ВІ + f ВІ) , (40)
aвн = SQR ((f ВІ - d ВІ). (41)
Так як криві Кассіні є окремим випадком спіріческіх кривих, тобто характеризуються наявністю ексцентриситету радіусів кривизни, чисті овали прагнуть до кола або при зростанні (d прагне до в€ћ), або при (f = 0).
Слід зазначити, що одним з умов моделювання напружених оболонкових конструкцій є спільність початковій модельної форми оболонки, запропонованої авторами у вигляді равнонапряженность сфери, тобто наведемо овали Кассіні до гр...
