якщо f'' (C) = 0. Зауваження: Теорему Ферма можна розглядати як теорему про необхідні умови екстремуму функції на відкритому інтервалі. br/>
1.2 Методи пошуку глобального екстремуму функції кількох змінних. Умови Куна-Таккера. Умова Слейтера
Метод множників Лагранжа можна використовувати при побудові критеріїв оптимальності для задач з обмеженнями у вигляді рівностей. Кун і Таккер узагальнили цей підхід на випадок загальної задачі нелінійного програмування з обмеженнями, як у вигляді рівностей, так і у вигляді нерівностей. Розглянемо таку загальну задачу нелінійного програмування:
Мінімізувати f (x) при обмеженнях:
В
де x = x1, x2, x3, ..., xn.
Обмеження у вигляді нерівності називається активним, або зв'язує, в точці, якщо, і неактивним, або не пов'язували, якщо, де - допустима точка, тобто задовольняє всім обмеженням. Якщо існує можливість виявити обмеження, які неактивні в точці оптимуму, до безпосереднього вирішення завдання, то ці обмеження можна виключити з моделі і тим самим зменшити її розміри. p> Кун і Таккер побудували необхідні і достатні умови оптимальності для задач нелінійного програмування, виходячи з припущення про диференційованої функції f, gj, hk. Отже, завдання Куна - Таккера полягає в тому, щоб знайти вектори, що задовольняють таким умовам:
В
Насамперед, проілюструємо умови Куна-Таккера на прикладі.
Мінімізувати при обмеженнях:
В
Записавши дану задачу у вигляді задачі лінійного програмування, можна отримати:
В
Рівняння (1), що входить до складу умов Куна-Таккерапрінімает наступний вигляд:
В
звідки
В
Нерівності (2) і рівняння (3) завдання Куна-Таккера в даному випадку записується у вигляді:
В
Рівняння (4), відомі як умова дополняющейнежесткості, приймають вигляд:
В
Зауважимо, що на змінні U1 і U2 накладається вимога позитивності, тоді як обмеження на знак, відсутня. Таким чином, для даної задачі умови Куна-Таккера записуються в наступному вигляді:
Умова регулярності Слейтера
Необхідна умова екстремуму в задачі нелінійного програмування, виявляється вірним тільки при виконанні додаткових умов, яким повинна задовольняти завдання:
В
Найважливішим з них є так зване умова регулярності Слейтера:
Кажуть, що функція gi (х), що задає обмеження в задачі, задовольняє умові регулярності Слейтера, якщо існує така точка, що належить області допустимих планів D, що
,
т. е. є внутрішньою точкою щодо обмеження gi (x). Тому дана умова також називають умовою тілесності. p> Взагалі кажучи, існують різні варіанти необхідної умови Куна-Таккера. Наведемо один з них. p> Якщо (D, f) є завданням опуклого п...
